Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=a+\log _{10}\left(10^{b-a}+1\right).

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R} a operação binária
a * b \;=\; a \;+\;\log_{10}\bigl(10^{\,b-a}+1\bigr),
e pergunta se ela é associativa e se é comutativa. Vamos usar propriedades de potências e de logaritmo para reescrever a operação, e daí verificar essas propriedades gerais.

Passo 2

Primeiro mostramos que a operação é comutativa, ou seja, que
a * b \;=\; b * a
para todos a,b\in\mathbb{R}. Observe:
a * b = a + \log_{10}\bigl(10^{\,b-a}+1\bigr), \quad b * a = b + \log_{10}\bigl(10^{\,a-b}+1\bigr).
Calcule a diferença:
(a*b)\;-\;(b*a) = \bigl[a-b\bigr] +\log_{10}\frac{10^{\,b-a}+1}{10^{\,a-b}+1}.
Mas note que 10^{\,a-b}=(10^{\,b-a})^{-1}, logo
\frac{10^{\,b-a}+1}{10^{\,a-b}+1} =\frac{10^{\,b-a}+1}{(10^{\,b-a})^{-1}+1} =10^{\,b-a}.
Assim
(a*b)-(b*a) =(a-b)+\log_{10}\bigl(10^{\,b-a}\bigr) =(a-b)+(b-a) =0,
isto é, a*b=b*a. Portanto a operação é comutativa.

Passo 3

Para examinar a associatividade, é conveniente ver outra forma de escrever a*b. Usando
10^{\,a*\!b} =10^{\,a}\cdot10^{\log_{10}(10^{\,b-a}+1)} =10^{\,a}\bigl(10^{\,b-a}+1\bigr) =10^{\,a}+10^{\,b},
temos
a*b = \log_{10}\bigl(10^{\,a}+10^{\,b}\bigr).

Passo 4

Agora calculemos
(a*b)*c =\log_{10}\!\bigl(10^{\,a*b}+10^{\,c}\bigr) =\log_{10}\bigl((10^{\,a}+10^{\,b})+10^{\,c}\bigr) =\log_{10}\bigl(10^{\,a}+10^{\,b}+10^{\,c}\bigr)
e também
a*(b*c) =\log_{10}\!\bigl(10^{\,a}+10^{\,b*c}\bigr) =\log_{10}\bigl(10^{\,a}+(10^{\,b}+10^{\,c})\bigr) =\log_{10}\bigl(10^{\,a}+10^{\,b}+10^{\,c}\bigr).
Como os dois resultados coincidem, a operação é associativa.

Resposta

A operação é comutativa e também é associativa.

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