Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define em
a operação binária
e pergunta se ela é associativa e se é comutativa. Vamos usar propriedades de potências e de logaritmo para reescrever a operação, e daí verificar essas propriedades gerais.
Passo 2
Primeiro mostramos que a operação é comutativa, ou seja, que
para todos
. Observe:
Calcule a diferença:
Mas note que
, logo
Assim
isto é,
. Portanto a operação é comutativa.
Passo 3
Para examinar a associatividade, é conveniente ver outra forma de escrever
. Usando
temos
Passo 4
Agora calculemos
e também
Como os dois resultados coincidem, a operação é associativa.
Resposta
A operação é comutativa e também é associativa.