Determine a ordem de cada uma das EDO’s abaixo e classifique-as como são linear ou não linear.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
O que é pedido:
- Determinar a ordem da EDO (ou seja, qual é a maior derivada que aparece).
- Classificar a EDO como linear ou não linear.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Aparecem as derivadas
e . - A equação não mostra explicitamente a variável independente (podemos chamar de
), mas isso não é necessário para responder ao pedido.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO (aula rápida e prática).
- Ordem de uma EDO é o maior índice de derivada de
que aparece na equação. - Exemplos rápidos:
-
tem ordem porque a maior derivada é . -
tem ordem .
-
Aplicando ao nosso caso:
- Na equação dada aparecem
e . - A maior derivada presente é
, ou seja, de ordem .
Passo 3
O que significa “linearidade” de uma EDO (explicação didática).
- Uma EDO de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independendente
dependem somente da variável independente (por exemplo
), e não dependem de
nem de quaisquer derivadas de
.
- Em palavras simples: a equação é linear se
e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções que não envolvem nem derivadas de , e não aparecem produtos nem potências de ou das derivadas. - Exemplos:
- Linear:
. - Não linear:
(porque é uma potência de uma derivada). - Não linear:
(porque há produto entre derivadas).
- Linear:
Passo 4
Reescrevendo a equação para ver a estrutura não linear (passo a passo).
- Começo com a equação dada:
- Fatora-se
nos dois primeiros termos:
- Calcule o colchete:
- Portanto os dois termos iniciais se tornam
- Substituindo na equação original obtemos a forma simplificada
Passo 5
Verificação da linearidade usando a forma simplificada e a definição.
- Na forma
aparece o produto : isto é um produto entre derivadas e uma potência da derivada de segunda ordem. - Para ser linear, os coeficientes das derivadas (por exemplo do termo com
ou ) teriam de ser funções apenas da variável independente . Aqui o coeficiente do termo que envolve é , que depende de , ou seja, depende da solução desconhecida e de suas derivadas — isso viola a condição de linearidade. - Além disso, a presença de
(uma potência da derivada de ordem mais alta) é um sinal claro de não linearidade: em uma equação linear não aparecem potências nem produtos entre e suas derivadas.
Passo 6
Conclusão e observações finais (com tom encorajador).
- A equação tem ordem
porque o maior derivado presente é . - A equação não é linear: aparece
e o coeficiente de depende de , portanto a equação é não linear. - Observação amistosa: esse tipo de verificação (buscar a maior derivada e checar se coeficientes dependem apenas da variável independente) é o procedimento padrão — na prova, faça exatamente assim: identifique a maior derivada, procure produtos/potências ou coeficientes que dependam de
ou de derivadas; se encontrar algum, já sabe que é não linear. Boa! Você vai mandar bem.
Resposta
Ordem: 2
Classificação: não linear (EDO de segunda ordem não linear)
Classificação: não linear (EDO de segunda ordem não linear)