Determine a ordem de cada uma das EDO’s abaixo e classifique-as como são linear ou não linear.
y^{\prime}-\left(1-\frac{\left(y^{\prime \prime}\right)^{2}}{3}\right) y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
y' - \left(1 - \frac{(y'')^{2}}{3}\right)\,y' + y = 0.
O que é pedido:
  • Determinar a ordem da EDO (ou seja, qual é a maior derivada que aparece).
  • Classificar a EDO como linear ou não linear.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Aparecem as derivadas y' e y''.
  • A equação não mostra explicitamente a variável independente (podemos chamar de x), mas isso não é necessário para responder ao pedido.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO (aula rápida e prática).
  • Ordem de uma EDO é o maior índice de derivada de y que aparece na equação.
  • Exemplos rápidos:
    • \,y''+y=0 tem ordem 2 porque a maior derivada é y''.
    • \,y'''+y'=0 tem ordem 3.
Aplicando ao nosso caso:
  • Na equação dada aparecem y' e y''.
  • A maior derivada presente é y'', ou seja, de ordem 2.

Passo 3

O que significa “linearidade” de uma EDO (explicação didática).
  • Uma EDO de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo independendente g(x) dependem somente da variável independente (por exemplo x), e não dependem de y nem de quaisquer derivadas de y.
  • Em palavras simples: a equação é linear se y e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções que não envolvem y nem derivadas de y, e não aparecem produtos nem potências de y ou das derivadas.
  • Exemplos:
    • Linear: \,y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = r(x).
    • Não linear: \,y'' + (y')^2 = 0 (porque (y')^2 é uma potência de uma derivada).
    • Não linear: \,y''\,y' + y = 0 (porque há produto entre derivadas).

Passo 4

Reescrevendo a equação para ver a estrutura não linear (passo a passo).
  • Começo com a equação dada:
y' - \left(1 - \frac{(y'')^{2}}{3}\right)\,y' + y = 0.
  • Fatora-se y' nos dois primeiros termos:
y' - \left(1 - \frac{(y'')^{2}}{3}\right)\,y' = y'\left[1 - \left(1 - \frac{(y'')^{2}}{3}\right)\right].
  • Calcule o colchete:
1 - \left(1 - \frac{(y'')^{2}}{3}\right) = \frac{(y'')^{2}}{3}.
  • Portanto os dois termos iniciais se tornam
y'\cdot\frac{(y'')^{2}}{3}=\frac{1}{3}(y'')^{2}\,y'.
  • Substituindo na equação original obtemos a forma simplificada
\frac{1}{3}(y'')^{2}\,y' + y = 0.

Passo 5

Verificação da linearidade usando a forma simplificada e a definição.
  • Na forma \dfrac{1}{3}(y'')^{2}\,y' + y = 0 aparece o produto (y'')^{2}\,y': isto é um produto entre derivadas e uma potência da derivada de segunda ordem.
  • Para ser linear, os coeficientes das derivadas (por exemplo do termo com y' ou y'') teriam de ser funções apenas da variável independente x. Aqui o coeficiente do termo que envolve y' é \dfrac{1}{3}(y'')^{2}, que depende de y'', ou seja, depende da solução desconhecida e de suas derivadas — isso viola a condição de linearidade.
  • Além disso, a presença de (y'')^{2} (uma potência da derivada de ordem mais alta) é um sinal claro de não linearidade: em uma equação linear não aparecem potências nem produtos entre y e suas derivadas.

Passo 6

Conclusão e observações finais (com tom encorajador).
  • A equação tem ordem 2 porque o maior derivado presente é y''.
  • A equação não é linear: aparece (y'')^{2} e o coeficiente de y' depende de y'', portanto a equação é não linear.
  • Observação amistosa: esse tipo de verificação (buscar a maior derivada e checar se coeficientes dependem apenas da variável independente) é o procedimento padrão — na prova, faça exatamente assim: identifique a maior derivada, procure produtos/potências ou coeficientes que dependam de y ou de derivadas; se encontrar algum, já sabe que é não linear. Boa! Você vai mandar bem.

Resposta

Ordem: 2
Classificação: não linear (EDO de segunda ordem não linear)

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