Classifique as seguintes equações como EDO ou EDP.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
O que se pede: classificar essa equação como EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (equação diferencial parcial). Informação explícita dada:
- A notação usa derivadas totais
. - A variável independente aparente é
. - A variável dependente é
, escrita como implicitamente. - A maior derivada presente é a derivada de ordem
.
Passo 2
Vou explicar de forma bem direta a diferença entre EDO e EDP (isso é útil para identificar rápido numa prova).
- EDO (equação diferencial ordinária): envolve derivadas ordinárias
de uma função dependente de apenas uma variável independente. Exemplo simples: (a função depende só de ). - EDP (equação diferencial parcial): envolve derivadas parciais
etc., de funções que dependem de duas ou mais variáveis independentes. Exemplo: (a função depende de e ).
Regra prática na prova: se a notação tem
(ou
,
, etc.) e aparece somente uma variável independente, é EDO; se aparece
e mais de uma variável independente, é EDP.
Passo 3
Aplicando a regra ao caso dado:
- A notação é
, usa , não . - Só aparece a variável independente
.
Portanto trata-se de uma equação que envolve derivadas ordinárias em relação a uma única variável independente: é uma EDO. A ordem da EDO é a ordem da maior derivada presente, aqui ordem.
Passo 4
Faço uma classificação adicional (útil para a prova): verificar linearidade e homogeneidade.
A forma geral de uma EDO linear de ordem
é
No nosso caso temos
que corresponde a
,
e
. Logo é uma EDO linear, homogênea, com coeficientes constantes.
Passo 5
Para fixar o conceito, resolvo rapidamente para ver a estrutura da solução (isso ajuda a entender por que é ordem 4).
Partindo de
, integro sucessivamente:
onde
são constantes arbitrárias. Isso mostra que a solução geral é um polinômio cúbico, e que são necessárias quatro condições iniciais para determinar as constantes — confirmação prática de que a equação é de ordem
.
Passo 6
Resumo rápido para lembrar na prova:
- Olhe a notação: se for
e uma única variável independente EDO. - A ordem é o maior expoente na derivada: aqui
. - Se o lado direito é zero e os
aparecem linearmente com coeficientes numéricos ou funções de , então é linear homogênea.
Resposta
EDO de ordem
(equação diferencial ordinária, linear homogênea com coeficientes constantes).