Classifique as seguintes equações como EDO ou EDP.
\frac{d^{4} x}{d t^{4}}=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\frac{d^{4}x}{dt^{4}} = 0.
O que se pede: classificar essa equação como EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (equação diferencial parcial). Informação explícita dada:
  • A notação usa derivadas totais d/dt.
  • A variável independente aparente é t.
  • A variável dependente é x, escrita como x(t) implicitamente.
  • A maior derivada presente é a derivada de ordem 4.

Passo 2

Vou explicar de forma bem direta a diferença entre EDO e EDP (isso é útil para identificar rápido numa prova).
  • EDO (equação diferencial ordinária): envolve derivadas ordinárias \dfrac{d}{dt} de uma função dependente de apenas uma variável independente. Exemplo simples: \dfrac{dy}{dx}=3x (a função y depende só de x).
  • EDP (equação diferencial parcial): envolve derivadas parciais \dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y}, etc., de funções que dependem de duas ou mais variáveis independentes. Exemplo: \dfrac{\partial u}{\partial t} = c^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} (a função u depende de x e t).
Regra prática na prova: se a notação tem d/dt (ou y'(x), x''(t), etc.) e aparece somente uma variável independente, é EDO; se aparece \partial e mais de uma variável independente, é EDP.

Passo 3

Aplicando a regra ao caso dado:
  • A notação é \dfrac{d^{4}x}{dt^{4}}, usa d, não \partial.
  • Só aparece a variável independente t.
    Portanto trata-se de uma equação que envolve derivadas ordinárias em relação a uma única variável independente: é uma EDO. A ordem da EDO é a ordem da maior derivada presente, aqui ordem 4.

Passo 4

Faço uma classificação adicional (útil para a prova): verificar linearidade e homogeneidade.
A forma geral de uma EDO linear de ordem n é
a_n(t)x^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+\dots+a_1(t)x'(t)+a_0(t)x(t)=g(t).
No nosso caso temos
\frac{d^{4}x}{dt^{4}} = 0,
que corresponde a a_4=1, a_3=a_2=a_1=a_0=0 e g(t)=0. Logo é uma EDO linear, homogênea, com coeficientes constantes.

Passo 5

Para fixar o conceito, resolvo rapidamente para ver a estrutura da solução (isso ajuda a entender por que é ordem 4).
Partindo de \dfrac{d^{4}x}{dt^{4}}=0, integro sucessivamente:
x^{(3)}(t)=C_1,
x''(t)=C_1 t + C_2,
x'(t)=\tfrac{C_1}{2}t^{2}+C_2 t + C_3,
x(t)=\tfrac{C_1}{6}t^{3}+\tfrac{C_2}{2}t^{2}+C_3 t + C_4,
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias. Isso mostra que a solução geral é um polinômio cúbico, e que são necessárias quatro condições iniciais para determinar as constantes — confirmação prática de que a equação é de ordem 4.

Passo 6

Resumo rápido para lembrar na prova:
  • Olhe a notação: se for d e uma única variável independente \Rightarrow EDO.
  • A ordem é o maior expoente na derivada: aqui 4.
  • Se o lado direito é zero e os x^{(k)} aparecem linearmente com coeficientes numéricos ou funções de t, então é linear homogênea.

Resposta

EDO de ordem 4 (equação diferencial ordinária, linear homogênea com coeficientes constantes).

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