Determine a ordem de cada uma das EDO’s abaixo e classifique-as como são linear ou não linear.
t y^{(4)}-t^{3} y^{\prime \prime}+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial
t\,y^{(4)}-t^{3}y''+6y=0.
Vou listar claramente o que é pedido e as informações que o enunciado dá:
  • O que pedir: determinar a ordem da EDO e classificá‑la como linear ou não linear.
  • Informações relevantes dadas na equação:
    • Aparecem as derivadas y^{(4)}, y'' e a própria função y.
    • Os coeficientes que multiplicam essas derivadas são funções de t: t, -t^{3} e 6.
    • O lado direito da equação é 0 (equação homogênea).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO (aula curta e prática).
  • Ordem de uma EDO é o maior número de derivadas de y que aparece na equação.
  • Na equação dada aparecem y^{(4)} (quarta derivada) e y'' (segunda derivada). O maior é a quarta derivada.
  • Logo, a ordem é \,4.

Passo 3

Definição prática de equação linear (explicada passo a passo).
  • Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
\sum_{k=0}^{n} a_k(t)\,y^{(k)} = g(t),
onde:
  • y^{(k)} é a k-ésima derivada de y (com y^{(0)}\equiv y),
  • cada a_k(t) depende apenas da variável independente t (ou é constante),
  • g(t) depende apenas de t,
  • e as ocorrências de y e de suas derivadas são de primeira potência (não aparecem termos como (y)^2, y\cdot y', \sin(y), etc.).
  • Se a equação satisfaz isso, diz‑se linear; caso contrário, é não linear.

Passo 4

Aplicando a definição à equação dada (verificação explícita).
  • Reescrevendo a equação no formato da definição:
t\,y^{(4)} + (-t^{3})\,y'' + 6\,y = 0.
  • Aqui:
    • a_4(t)=t,
    • a_2(t)=-t^{3},
    • a_0(t)=6,
    • e g(t)=0.
  • Cada coeficiente a_k(t) é função apenas de t (ou constante) e as potências de y e de suas derivadas são todas 1. Não aparecem produtos entre derivadas e y nem funções não lineares de y.
  • Portanto, a equação é linear.
  • Observação útil (não muda a classificação): como g(t)=0, a equação é homogênea. Como a_4(t)=t depende de t, os coeficientes não são todos constantes — trata‑se de uma equação linear de coeficientes variáveis. Também nota-se que a_4(0)=0, ou seja, t=0 é ponto onde o coeficiente do termo de maior ordem se anula (ponto singular da equação), mas isso não a torna não linear — apenas influencia análise das soluções perto de t=0.

Resposta

Ordem: 4
Classificação: equação linear homogênea de ordem 4 com coeficientes dependentes de t (coeficientes variáveis).

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