Determine a ordem de cada uma das EDO’s abaixo e classifique-as como são linear ou não linear.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial
Vou listar claramente o que é pedido e as informações que o enunciado dá:
- O que pedir: determinar a ordem da EDO e classificá‑la como linear ou não linear.
- Informações relevantes dadas na equação:
- Aparecem as derivadas
, e a própria função . - Os coeficientes que multiplicam essas derivadas são funções de
: , e . - O lado direito da equação é
(equação homogênea).
- Aparecem as derivadas
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO (aula curta e prática).
- Ordem de uma EDO é o maior número de derivadas de
que aparece na equação. - Na equação dada aparecem
(quarta derivada) e (segunda derivada). O maior é a quarta derivada. - Logo, a ordem é
.
Passo 3
Definição prática de equação linear (explicada passo a passo).
- Uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde:
-
é a -ésima derivada de (com ), - cada
depende apenas da variável independente (ou é constante), -
depende apenas de , - e as ocorrências de
e de suas derivadas são de primeira potência (não aparecem termos como , , , etc.). - Se a equação satisfaz isso, diz‑se linear; caso contrário, é não linear.
Passo 4
Aplicando a definição à equação dada (verificação explícita).
- Reescrevendo a equação no formato da definição:
- Aqui:
-
, -
, -
, - e
.
-
- Cada coeficiente
é função apenas de (ou constante) e as potências de e de suas derivadas são todas 1. Não aparecem produtos entre derivadas e nem funções não lineares de . - Portanto, a equação é linear.
- Observação útil (não muda a classificação): como
, a equação é homogênea. Como depende de , os coeficientes não são todos constantes — trata‑se de uma equação linear de coeficientes variáveis. Também nota-se que , ou seja, é ponto onde o coeficiente do termo de maior ordem se anula (ponto singular da equação), mas isso não a torna não linear — apenas influencia análise das soluções perto de .
Resposta
Ordem:
Classificação: equação linear homogênea de ordem com coeficientes dependentes de
(coeficientes variáveis).
Classificação: equação linear homogênea de ordem