Determine a ordem e diga se a EDP é linear ou não-linear.
\operatorname{sen}(y) u_{x x x}+x^{2} u_{y x x}=\cos (x+y)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial parcial
\sin(y)\,u_{x x x}+x^{2}\,u_{y x x}=\cos(x+y)
e pede duas coisas:
  • determinar a ordem da EDP;
  • dizer se a EDP é linear ou não-linear.
As informações relevantes dadas são:
  • aparecem as derivadas parciais u_{x x x} e u_{y x x};
  • os coeficientes das derivadas são \sin(y) e x^{2}, que dependem apenas de x e y;
  • o segundo membro é \cos(x+y), que depende apenas de x e y e não de u.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDP — aula rápida e direta:
  • A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem máxima das derivadas parciais de u que aparecem na equação.
  • Para derivadas puras, a ordem é o número de diferenciações em uma variável (por exemplo u_{xx} tem ordem 2).
  • Para derivadas mistas, a ordem é a soma das ordens em cada variável (por exemplo u_{xyz} tem ordem 3 porque foi derivada uma vez em x, uma vez em y e uma vez em z; u_{yxx} tem ordem 1+2=3).
    Exemplos curtos para fixar:
  • u_x tem ordem 1.
  • u_{xx} e u_{xy} têm ordem 2.
  • u_{xxx} e u_{yxx} têm ordem 3.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso dado:
  • o termo \sin(y)\,u_{x x x} contém a derivada parcial u_{x x x}, que é de ordem 3;
  • o termo x^{2}\,u_{y x x} contém a derivada parcial mista u_{y x x}, que também é de ordem 3 (uma vez em y e duas vezes em x, total 3).
    Não há derivadas de ordem maior que 3 na equação. Portanto a ordem da EDP é 3.

Passo 4

O que significa “linearidade” de uma EDP — outra mini-aula:
  • Uma EDP é linear se a dependência da equação em relação à função incógnita u e suas derivadas for linear. Isso quer dizer que cada termo envolvendo u ou suas derivadas aparece com grau 1 e não são multiplicados entre si nem dentro de funções não lineares de u (como (u_x)^2, \sin(u), u\,u_{xx}, etc.).
  • Mais formalmente, uma EDP tem a forma linear geral
\sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha}(x,y)\,D^{\alpha}u = f(x,y),
onde os coeficientes a_{\alpha} e o termo fonte f podem depender apenas das variáveis independentes ( x,y aqui), e D^{\alpha}u são derivadas parciais de várias ordens. Se aparecerem produtos entre derivadas ou funções de u nos coeficientes, a equação é não-linear.
  • Observação útil: coeficientes que dependem das variáveis independentes (como x e y) são permitidos numa equação linear; o problema é quando os coeficientes dependem de u.

Passo 5

Aplicando a definição de linearidade à equação dada:
  • os termos que envolvem u são \sin(y)\,u_{x x x} e x^{2}\,u_{y x x}. Em ambos, u (ou suas derivadas) aparece com potência 1 e não há produto entre derivadas de u.
  • os coeficientes \sin(y) e x^{2} dependem apenas das variáveis independentes x e y, não de u.
  • o membro direito é \cos(x+y), que depende apenas de x e y (não de u).
    Portanto todos os termos que envolvem u aparecem de forma linear, assim a EDP é linear.

Passo 6

Comentário extra (útil para prova): a equação é linear, porém não homogênea porque o segundo membro \cos(x+y) não é zero. Se o RHS fosse 0 seria linear homogênea.

Resposta

Ordem: 3
Linear: sim (linear não homogênea)

Exercícios relacionados