Determine a ordem e diga se a EDP é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial parcial
e pede duas coisas:
- determinar a ordem da EDP;
- dizer se a EDP é linear ou não-linear.
As informações relevantes dadas são:
- aparecem as derivadas parciais
e ; - os coeficientes das derivadas são
e , que dependem apenas de e ; - o segundo membro é
, que depende apenas de e e não de .
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDP — aula rápida e direta:
- A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem máxima das derivadas parciais de
que aparecem na equação. - Para derivadas puras, a ordem é o número de diferenciações em uma variável (por exemplo
tem ordem ). - Para derivadas mistas, a ordem é a soma das ordens em cada variável (por exemplo
tem ordem porque foi derivada uma vez em , uma vez em e uma vez em ; tem ordem ).
Exemplos curtos para fixar: -
tem ordem . -
e têm ordem . -
e têm ordem .
Passo 3
Aplicando a definição ao caso dado:
- o termo
contém a derivada parcial , que é de ordem ; - o termo
contém a derivada parcial mista , que também é de ordem (uma vez em e duas vezes em , total ).
Não há derivadas de ordem maior quena equação. Portanto a ordem da EDP é .
Passo 4
O que significa “linearidade” de uma EDP — outra mini-aula:
- Uma EDP é linear se a dependência da equação em relação à função incógnita
e suas derivadas for linear. Isso quer dizer que cada termo envolvendo ou suas derivadas aparece com grau e não são multiplicados entre si nem dentro de funções não lineares de (como , , , etc.). - Mais formalmente, uma EDP tem a forma linear geral
onde os coeficientes
e o termo fonte
podem depender apenas das variáveis independentes (
aqui), e
são derivadas parciais de várias ordens. Se aparecerem produtos entre derivadas ou funções de
nos coeficientes, a equação é não-linear.
- Observação útil: coeficientes que dependem das variáveis independentes (como
e ) são permitidos numa equação linear; o problema é quando os coeficientes dependem de .
Passo 5
Aplicando a definição de linearidade à equação dada:
- os termos que envolvem
são e . Em ambos, (ou suas derivadas) aparece com potência e não há produto entre derivadas de . - os coeficientes
e dependem apenas das variáveis independentes e , não de . - o membro direito é
, que depende apenas de e (não de ).
Portanto todos os termos que envolvemaparecem de forma linear, assim a EDP é linear.
Passo 6
Comentário extra (útil para prova): a equação é linear, porém não homogênea porque o segundo membro
não é zero. Se o RHS fosse
seria linear homogênea.
Resposta
Ordem:
Linear: sim (linear não homogênea)
Linear: sim (linear não homogênea)