1. A viscosidade de um fluido deve ser medida em um viscosímetro por meio de dois cilindros concêntricos com 40 cm de comprimento. O cilindro interno sofre a ação de torque sendo possível determinar \mu . \mathrm{O} diâmetro do cilindro interno é de 12 cm e a folga entre os cilindros é de 0,15 \mathrm{~m} . \mathrm{O} cilindro interno rotaciona a 300 rpm . O torque medido é de 1,8 \mathrm{~N}.m. Calcule \mu.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos (peguei todos estes números do enunciado).
  • O que se pede: calcular a viscosidade dinâmica \mu do fluido, a partir do torque medido num sistema de dois cilindros concêntricos (cilindro interno girando, cilindro externo estacionário).
  • Dados fornecidos:
    • comprimento dos cilindros: L=40\\ \mathrm{cm}=0{,}40\\ \mathrm{m}.
    • diâmetro do cilindro interno: d_i=12\\ \mathrm{cm}=0{,}12\\ \mathrm{m} ⇒ raio interno a=\dfrac{d_i}{2}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
    • folga (espaço radial) entre os cilindros: b-a=0{,}15\\ \mathrm{m}. Logo raio externo b=a+0{,}15=0{,}21\\ \mathrm{m}.
    • velocidade de rotação do cilindro interno: 300\\ \mathrm{rpm}.
    • torque medido: T=1{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 2

Conceito físico e modelo (explicação didática):
  • Entre dois cilindros concêntricos com o interno girando e o externo fixo, o escoamento estacionário e laminar de um fluido newtoniano tem velocidade tangencial que depende só do raio r. Esse escoamento é chamado de escoamento de Couette em geometria cilíndrica.
  • Para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento (shear stress) \tau_{r\theta} está ligada ao gradiente de velocidade angular por
\tau_{r\theta}=\mu\left(r\frac{d}{dr}\!\left(\frac{v_\theta}{r}\right)\right),
onde v_\theta(r) é a velocidade tangencial do fluido no raio r (unidade \mathrm{m/s}), \mu é a viscosidade dinâmica (unidade \mathrm{Pa\cdot s}) e r é o raio (unidade \mathrm{m}).
  • O torque sobre o cilindro interno pode ser obtido multiplicando-se a tensão de cisalhamento na superfície do cilindro interno pela área e pelo braço de momento: T=2\pi L a^2 \tau_{r\theta}(a).

Passo 3

Solução geral da velocidade tangencial e aplicação das condições de contorno:
  • A equação de equilíbrio para esse escoamento leva à forma geral
v_\theta(r)=A r + \frac{B}{r},
onde A e B são constantes a determinar.
  • Condições de contorno (peguei os valores do enunciado):
    • no cilindro interno (raio r=a): v_\theta(a)=\Omega a, onde \Omega é a velocidade angular do cilindro interno (em \mathrm{rad/s});
    • no cilindro externo (raio r=b): v_\theta(b)=0 (cilindro externo imóvel).
  • Essas condições dão o sistema
A a + \frac{B}{a}=\Omega a,\qquad A b + \frac{B}{b}=0.
Subtraindo as equações (ou resolvendo o sistema) obtém-se
B=\frac{\Omega a^{2} b^{2}}{b^{2}-a^{2}}.

Passo 4

Expressão da tensão de cisalhamento e do torque:
  • Calculemos o termo r\frac{d}{dr}\!\left(\frac{v_\theta}{r}\right). Como \dfrac{v_\theta}{r}=A+\dfrac{B}{r^{2}},
r\frac{d}{dr}\!\left(\frac{v_\theta}{r}\right)=r\left(-2\frac{B}{r^{3}}\right)=-\frac{2B}{r^{2}}.
  • Portanto a tensão de cisalhamento é
\tau_{r\theta}(r)=\mu\left(-\frac{2B}{r^{2}}\right).
  • O torque sobre o cilindro interno (módulo) é
T=2\pi L a^{2}\,|\tau_{r\theta}(a)|=2\pi L a^{2}\left(2\mu\frac{B}{a^{2}}\right)=4\pi \mu L B.
(Aqui usei o valor absoluto do torque; o sinal apenas indica sentido.)
  • Substituindo B em termos de \Omega,a,b obtemos a relação desejada
T=4\pi \mu L \frac{\Omega a^{2} b^{2}}{b^{2}-a^{2}}.
  • Isolando \mu,
\boxed{\displaystyle \mu=\frac{T\,(b^{2}-a^{2})}{4\pi L \,\Omega\, a^{2} b^{2}}.}

Passo 5

Converta a rotação para \mathrm{rad/s} e calcule quantidades intermediárias:
  • Primeiro, \,300\\ \mathrm{rpm} = \dfrac{300}{60}\\ \mathrm{rev/s}=5\\ \mathrm{rev/s}. Em rad/s:
\Omega=2\pi\cdot 5=10\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 31{,}416\\ \mathrm{rad/s}.
  • Raios já obtidos: a=0{,}06\\ \mathrm{m}, b=0{,}21\\ \mathrm{m}.
  • Calcule a^{2}, b^{2} e b^{2}-a^{2}:
a^{2}=0{,}06^{2}=0{,}0036\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad b^{2}=0{,}21^{2}=0{,}0441\\ \mathrm{m^{2}},
b^{2}-a^{2}=0{,}0441-0{,}0036=0{,}0405\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcule a^{2}b^{2}:
a^{2}b^{2}=0{,}0036\times 0{,}0441=0{,}00015876\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 6

Substituição numérica na fórmula de \mu (mostrar contas passo a passo):
  • Fórmula:
\mu=\frac{T\,(b^{2}-a^{2})}{4\pi L \,\Omega\, a^{2} b^{2}}.
  • Substituindo T=1{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}, b^{2}-a^{2}=0{,}0405\\ \mathrm{m^{2}},
    L=0{,}40\\ \mathrm{m}, \Omega=10\pi\\ \mathrm{rad/s}, a^{2}b^{2}=0{,}00015876\\ \mathrm{m^{4}}:
\mu=\frac{1{,}8\times 0{,}0405}{4\pi \times 0{,}40 \times 10\pi \times 0{,}00015876}.
  • Simplificando constantes: 4\pi\times 0{,}40\times 10\pi =16\pi^{2}.
    Então o denominador é 16\pi^{2}\times 0{,}00015876.
  • Numérico:
\text{denominador}\approx 16\cdot \pi^{2}\cdot 0{,}00015876\approx 0{,}0250704.
\text{numerador}=1{,}8\times 0{,}0405=0{,}0729.
\mu\approx\frac{0{,}0729}{0{,}0250704}\approx 2{,}9087\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida:
  • Unidade: \mathrm{Pa\cdot s} (igual a \mathrm{N\cdot s/m^{2}}), coerente com viscosidade dinâmica.
  • Valor obtido \mu\approx 2{,}91\\ \mathrm{Pa\cdot s} é relativamente alto (fluido bem viscoso), mas depende do fluido usado e do torque medido; matematicamente a conta está consistente com a fórmula e os dados.

Resposta

\mu=2{,}91\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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