- A viscosidade de um fluido deve ser medida em um viscosímetro por meio de dois cilindros concêntricos com 40 cm de comprimento. O cilindro interno sofre a ação de torque sendo possível determinar
diâmetro do cilindro interno é de 12 cm e a folga entre os cilindros é de
cilindro interno rotaciona a 300 rpm . O torque medido é de
.m. Calcule
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos (peguei todos estes números do enunciado).
- O que se pede: calcular a viscosidade dinâmica
do fluido, a partir do torque medido num sistema de dois cilindros concêntricos (cilindro interno girando, cilindro externo estacionário). - Dados fornecidos:
- comprimento dos cilindros:
. - diâmetro do cilindro interno:
⇒ raio interno . - folga (espaço radial) entre os cilindros:
. Logo raio externo . - velocidade de rotação do cilindro interno:
. - torque medido:
.
- comprimento dos cilindros:
Passo 2
Conceito físico e modelo (explicação didática):
- Entre dois cilindros concêntricos com o interno girando e o externo fixo, o escoamento estacionário e laminar de um fluido newtoniano tem velocidade tangencial que depende só do raio
. Esse escoamento é chamado de escoamento de Couette em geometria cilíndrica. - Para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento (shear stress)
está ligada ao gradiente de velocidade angular por
onde
é a velocidade tangencial do fluido no raio
(unidade
),
é a viscosidade dinâmica (unidade
) e
é o raio (unidade
).
- O torque sobre o cilindro interno pode ser obtido multiplicando-se a tensão de cisalhamento na superfície do cilindro interno pela área e pelo braço de momento:
.
Passo 3
Solução geral da velocidade tangencial e aplicação das condições de contorno:
- A equação de equilíbrio para esse escoamento leva à forma geral
onde
e
são constantes a determinar.
- Condições de contorno (peguei os valores do enunciado):
- no cilindro interno (raio
): , onde é a velocidade angular do cilindro interno (em ); - no cilindro externo (raio
): (cilindro externo imóvel).
- no cilindro interno (raio
- Essas condições dão o sistema
Subtraindo as equações (ou resolvendo o sistema) obtém-se
Passo 4
Expressão da tensão de cisalhamento e do torque:
- Calculemos o termo
. Como ,
- Portanto a tensão de cisalhamento é
- O torque sobre o cilindro interno (módulo) é
(Aqui usei o valor absoluto do torque; o sinal apenas indica sentido.)
- Substituindo
em termos de obtemos a relação desejada
- Isolando
,
Passo 5
Converta a rotação para
e calcule quantidades intermediárias:
- Primeiro,
. Em rad/s:
- Raios já obtidos:
, . - Calcule
, e :
- Calcule
:
Passo 6
Substituição numérica na fórmula de
(mostrar contas passo a passo):
- Fórmula:
- Substituindo
, ,
, , :
- Simplificando constantes:
.
Então o denominador é. - Numérico:
Passo 7
Interpretação e verificação rápida:
- Unidade:
(igual a ), coerente com viscosidade dinâmica. - Valor obtido
é relativamente alto (fluido bem viscoso), mas depende do fluido usado e do torque medido; matematicamente a conta está consistente com a fórmula e os dados.