Discuta o comportamento da viscosidade em função da taxa de deformação ocorrida pela tensão de cisalhamento imposta da temperatura.
5) Considere os processos difusivos unidimensionais de transferência de momento linear (escoamento laminar incompressível), calor por condução e massa por difusão molecular. Compare: a) perfil de velocidade nos regimes transiente e permanente; b) perfil de temperatura nos regimes transiente e permanente; c) perfil de concentração nos regimes transiente e permanente; d) as equações que governam cada caso.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Discutir o comportamento da viscosidade em função da taxa de deformação (taxa de cisalhamento) e da temperatura.
  2. Para processos unidimensionais difusivos (momentum, calor e massa) comparar:
    • (a) perfil de velocidade nos regimes transiente e permanente;
    • (b) perfil de temperatura nos regimes transiente e permanente;
    • (c) perfil de concentração nos regimes transiente e permanente;
    • (d) as equações que governam cada caso.
Informações/condições implícitas que usaremos:
  • Escoamento laminar incompressível e unidimensional (variáveis dependem de uma única coordenada espacial, por exemplo y, e do tempo t).
  • Transferência por difusão molecular (sem convecção turbulenta).
  • Usaremos propriedades como viscosidade dinâmica \mu, viscosidade cinemática \nu=\dfrac{\mu}{\rho}, difusividade térmica \alpha=\dfrac{k}{\rho c_p} e difusividade de massa D.
  • Consideraremos exemplos típicos de problemas: placa impulsivamente movida (para momentum), placa aquecida (para calor) e contato entre duas concentrações (para massa), além de casos de estado estacionário com fronteiras a temperaturas/concentrações/velocidades fixas.

Passo 2

Conceitos básicos sobre viscosidade e taxa de deformação — as definições que vamos usar (aula rápida e concreta).
  • Viscosidade dinâmica \mu: medida da resistência interna do fluido a deformação por cisalhamento; unidades SI: \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Taxa de deformação (ou taxa de cisalhamento) \dot\gamma: velocidade relativa entre camadas por unidade de distância, por exemplo para velocidade u(y),
\dot\gamma = \left|\dfrac{\partial u}{\partial y}\right|.
  • Esforço de cisalhamento (tensão de cisalhamento) \tau: força por unidade de área tangencial. Para fluido newtoniano
\tau = \mu\,\dot\gamma.
Explicando: em fluido newtoniano a relação é linear — dobrar \dot\gamma dobra \tau.

Passo 3

Comportamento da viscosidade em função da taxa de deformação (cisalhamento) — tipos e equações úteis.
  • Fluido newtoniano: \mu é constante (independe de \dot\gamma). Ex.: água, ar (em grande medida).
    • Lei: \tau=\mu\,\dot\gamma.
  • Fluidos pseudoplásticos (shear-thinning): viscosidade aparente diminui quando \dot\gamma aumenta. Modelagem simples: lei potência (power-law)
\tau = K\,\dot\gamma^n,\qquad \eta_{\text{app}}(\dot\gamma)=\dfrac{\tau}{\dot\gamma}=K\,\dot\gamma^{\,n-1},
onde 0<n<1 => shear-thinning. Ex.: tintas, sangue.
  • Fluidos dilatantes (shear-thickening): viscosidade aparente aumenta com \dot\gamma (aqui n>1 no power-law).
  • Fluidos plásticos com limite de escoamento (Bingham): existe uma tensão de escoamento \tau_y; para \tau>\tau_y,
\tau = \tau_y + \mu_p\,\dot\gamma,
onde \mu_p é a viscosidade plástica. Ex.: lama de perfuração, pastas.
  • Observação prática: em prova, se pedirem “comportamento”, descreva qualitativamente (linear, diminui com \dot\gamma, aumenta com \dot\gamma ou existe \tau_y) e escreva a expressão acima para ilustrar.

Passo 4

Dependência da viscosidade com a temperatura — leis e intuição física.
  • Intuição: em líquidos, ao aumentar a temperatura, moléculas se movem mais e forças coesivas relativas diminuem, então \mu tipicamente diminui rapidamente com T. Em gases, \mu aumenta com T porque as colisões moleculares mudam; crescimento obedecendo aproximadamente uma lei de potência.
  • Modelos usados:
    • Lei de Arrhenius (útil para líquidos e polímeros em primeira aproximação):
    \mu(T) = A\,\exp\!\left(\dfrac{E}{R\,T}\right),onde A e E são constantes experimentais, R é constante universal dos gases e T em kelvin. Explicando: \mu decresce exponencialmente quando T aumenta.
    • Equação de Andrade/Vogel–Fulcher–Tammann (mais usada para polímeros viscosos): forma mais complexa, mas mesma ideia — forte sensibilidade a T.
    • Gases: Lei de Sutherland (modelo prático)
    \mu(T)=\mu_0\left(\dfrac{T}{T_0}\right)^{3/2}\dfrac{T_0+S}{T+S},com \mu_0, T_0, S constantes experimentais; implica \mu cresce com T.
  • Dica de prova: citar um modelo (Arrhenius para líquidos, Sutherland para gases) e explicar qualitativamente é suficiente na maioria das questões.

Passo 5

Relação entre taxa de cisalhamento, temperatura e comportamento reológico — síntese e implicações práticas.
  • Para um fluido não newtoniano, a viscosidade aparente \eta_{\text{app}}(\dot\gamma,T) depende tanto de \dot\gamma quanto de T. Em geral:
\eta_{\text{app}}(\dot\gamma,T) \approx \eta_0(T)\,f\big(\dot\gamma\big),
onde \eta_0(T) é a referência dependente de T (arrhenius-like) e f(\dot\gamma) descreve a variação com taxa (por ex. f(\dot\gamma)=\dot\gamma^{\,n-1} no power-law). Ou seja, aumentar T geralmente reduz \eta, enquanto aumentar \dot\gamma pode reduzir ou aumentar \eta_{\text{app}} dependendo do tipo do fluido.
  • Exemplo concreto: tinta (shear-thinning) esquenta (menor \eta_0) e é pincelada (alta \dot\gamma) — a viscosidade aparente cai muito, facilita espalhar.

Passo 6

Introdução à analogia das equações de difusão — vamos unificar a linguagem.
  • Todos os três processos (momento, calor, massa) têm a mesma estrutura matemática básica de difusão quando simplificados a um único componente/unidimensional e sem convecção significativa:
\frac{\partial \varphi}{\partial t} = D_\varphi\,\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2},
onde \varphi representa a variável difusiva:
  • para momentum: \varphi=u (velocidade), D_\varphi=\nu=\dfrac{\mu}{\rho} (viscosidade cinemática);
  • para calor: \varphi=T, D_\varphi=\alpha=\dfrac{k}{\rho c_p} (difusividade térmica);
  • para massa: \varphi=C (concentração), D_\varphi=D (difusividade molecular).
  • Essa equação é a equação da difusão unidimensional (ou equação do calor); por isso muitos conceitos se transferem entre os casos (soluções, escalas de tempo, perfis).

Passo 7

Equação que governa cada caso (resposta direta e explícita) — escrevendo as equações e explicando cada termo.
  • Transferência de momento (escoamento laminar incompressível, unidimensional, sem pressão variável nem termos convectivos):
\frac{\partial u}{\partial t} = \nu\,\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},
onde u(y,t) é a velocidade paralela às superfícies, \nu=\dfrac{\mu}{\rho} é a viscosidade cinemática e \rho é a densidade.
  • Condução de calor (sem geração interna e sem convecção):
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2},
onde T(y,t) é a temperatura e \alpha=\dfrac{k}{\rho c_p}.
  • Difusão de massa (Fick, unidimensional, sem reação):
\frac{\partial C}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 C}{\partial y^2},
onde C(y,t) é a concentração e D é o coeficiente de difusão molecular.
Explicando: todas têm a forma \partial \varphi/\partial t = D_\varphi \partial^2 \varphi/\partial y^2; o coeficiente D_\varphi controla a rapidez da difusão.

Passo 8

Perfis em estado permanente (regime permanente, \partial/\partial t=0) — soluções gerais e exemplos simples.
  • Em regime permanente a equação reduz para
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0 \quad\Rightarrow\quad \varphi(y) = A\,y + B,
isto é, solução linear entre fronteiras para problemas com condições de contorno de Dirichlet (valores fixos nas fronteiras). Exemplos:
  • Velocidade (Couette entre duas placas a velocidades diferentes): perfil linear u(y) entre u(0)=0 e u(L)=U.
  • Temperatura entre duas placas mantidas em temperaturas T(0)=T_1 e T(L)=T_2: perfil linear T(y).
  • Concentração entre duas superfícies com C(0)=C_1 e C(L)=C_2: perfil linear C(y).
  • Observação: se houver fonte, pressão ou gradiente (por exemplo escoamento de Poiseuille com gradiente de pressão), a solução pode ser parabólica (pois a forma do termo forçante muda). Aqui estamos no caso “difusão pura” sem termo forçante.

Passo 9

Perfis no regime transiente — forma geral e exemplos clássicos; escalas de tempo.
  • Soluções transientes típicas:
    • Problema semi-infinito (placa impulsiva): solução auto-similar com função erro (error function). Por exemplo, para placa que, em t=0, é instantaneamente posta a velocidade U enquanto o fluido em y>0 estava em repouso (Stokes’ first problem),
u(y,t) = U\,\operatorname{erf}\!\left(\dfrac{y}{2\sqrt{\nu t}}\right)
(em forma normalizada; a dependência em \eta=y/(2\sqrt{\nu t}) é característica). Mesma forma aparece para T(y,t) e C(y,t) em problemas análogos.
  • Placa finita (entre y=0 e y=L): solução em série de Fourier (soma de exponenciais decrescentes), por exemplo
\varphi(y,t)=\phi_{\text{steady}}(y)+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\exp\!\left(-\lambda_n D_\varphi t\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{L}\right),
com \lambda_n=(n\pi/L)^2. Comentário: termos exponenciais definem decadência temporal de modos.
  • Escala de tempo característica de difusão:
t_{\text{dif}} \sim \dfrac{L^2}{D_\varphi}.
Interpretação: quanto maior D_\varphi, mais rápido atinge regime permanente; quanto maior a distância L, mais lento (dependência quadrática).
  • Conclusão prática: perfis transientes crescem “da fronteira” e penetram na região interior numa espessura do tipo \delta(t)\sim\sqrt{D_\varphi t}. Assim, a borda do efeito difusivo avança proporcional a \sqrt{t}.

Passo 10

Comparações diretas entre os três casos (velocidade, temperatura, concentração) — semelhanças e diferenças essenciais.
  • Semelhanças:
    • Mesma forma matemática (equação de difusão) em situação unidimensional, por isso soluções e técnicas são análogas.
    • Perfis estacionários entre fronteiras com condições de contorno dirichlet são lineares.
    • Perfis transientes têm penetração com \delta\sim\sqrt{D_\varphi t} e soluções do tipo erro/Fourier.
  • Diferenças:
    • Difusividades diferentes: \nu, \alpha, D tipicamente têm ordens de grandeza diferentes. Por isso, o tempo para atingir o estado estacionário difere entre momentum, calor e massa.
    • Relações entre difusividades são descritas por números adimensionais: \mathrm{Pr}=\dfrac{\nu}{\alpha}\quad(\text{Prandtl}),\qquad \mathrm{Sc}=\dfrac{\nu}{D}\quad(\text{Schmidt}).Interpretação: \mathrm{Pr} grande \Rightarrow momento difunde mais rápido que calor (camadas térmicas mais finas ou mais largas dependendo do caso) e \mathrm{Sc} grande \Rightarrow transporte de massa mais lento que de momento.
    • Exemplos numéricos aproximados (usar em prova para justificar qual difunde mais rápido):
      • Água à 20^\circ\mathrm{C}: \nu\sim 1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}, \alpha\sim 1.4\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s} \mathrm{Pr}\sim7. Aqui momento difunde muito mais rápido que calor.
      • Gases (ar): \mathrm{Pr}\sim0{,}7 (momentum e calor difusam em taxa parecida).
      • Difusão molecular típica de solutos em água: D\sim 10^{-9}\!-\!10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s}, então \mathrm{Sc} muito grande e massa difunde muito mais lentamente que momentum.

Passo 11

Como apresentar isso numa prova (passo a passo para responder com clareza e ganhar pontos).
  • Comece definindo \mu, \dot\gamma e escreva a lei newtoniana \tau=\mu\dot\gamma. Diga “se \mu constante → newtoniano; se \mu varia com \dot\gamma → não-newtoniano” e apresente a lei potência e Bingham como exemplos.
  • Explique dependência com temperatura: escreva a lei de Arrhenius e comente qualitativamente (liquidos: \mu\downarrow quando T\uparrow; gases: \mu\uparrow quando T\uparrow, usando Sutherland).
  • Para a segunda parte, escreva explicitamente as três equações de difusão (velocidade, temperatura, concentração) — isso responde o item (d).
  • Para (a),(b),(c): diga “no estacionário é linear (ou parabólico se houver fonte/pressão) e no transiente evolui segundo soluções erro/Fourier com camada penetrante \delta\sim\sqrt{D_\varphi t}” e comente como as diferenças quantitativas dependem de \nu,\alpha,D e dos números adimensionais \mathrm{Pr},\mathrm{Sc}.
  • Se pedirem, dê um exemplo numérico rápido para comparar tempos (usar t\sim L^2/D_\varphi).

Passo 12

Resumo final intuitivo e motivador (para você memorizar e usar na prova).
  • Viscosidade vs taxa de cisalhamento: newtoniano (linear), shear-thinning (viscosidade aparente cai com \dot\gamma), shear-thickening (aumenta) e plásticos (limite de escoamento). Escreva as fórmulas power-law e Bingham na prova.
  • Viscosidade vs temperatura: líquidos \mu decresce fortemente com T (Arrhenius), gases \mu cresce com T (Sutherland).
  • Momentum, calor e massa, em regime unidimensional puro, obedecem à mesma equação de difusão; troque apenas u\leftrightarrow T\leftrightarrow C e \nu\leftrightarrow\alpha\leftrightarrow D.
  • Em estacionário: perfis lineares (entre fronteiras simples); em transiente: perfis com penetração \delta\sim\sqrt{D_\varphi t}, soluções em erro ou série de Fourier; tempo característico t\sim L^2/D_\varphi.
  • Use \mathrm{Pr} e \mathrm{Sc} para comparar qual variável difunde mais rápido.

Resposta

Comportamento da viscosidade: fluido newtoniano \Rightarrow \tau=\mu\dot\gamma com \mu constante. Fluido power-law: \tau=K\dot\gamma^n, \eta_{\text{app}}=K\dot\gamma^{\,n-1} ( n<1 shear-thinning, n>1 shear-thickening). Bingham: \tau=\tau_y+\mu_p\dot\gamma. Dependência com temperatura: líquidos \mu(T)=A\exp\!\left(\dfrac{E}{R\,T}\right) (Arrhenius) \Rightarrow \mu decresce com T; gases seguem lei de Sutherland \mu(T)=\mu_0\left(\dfrac{T}{T_0}\right)^{3/2}\dfrac{T_0+S}{T+S} \Rightarrow \mu aumenta com T.\n(a) Perfil de velocidade: regime permanente (difusão pura entre superfícies) \Rightarrow solução linear u(y)=Ay+B (ou parabólica se houver gradiente de pressão); regime transiente \Rightarrow evolução do perfil com penetração \delta\sim\sqrt{\nu t}, soluções do tipo erro/Fourier (ex.: u(y,t)=U\,\operatorname{erf}\!\big(\tfrac{y}{2\sqrt{\nu t}}\big) para placa impulsiva).\n(b) Perfil de temperatura: regime permanente \Rightarrow T(y)=Ay+B para fronteiras com T fixas; regime transiente \Rightarrow evolução com \delta\sim\sqrt{\alpha t} e soluções error/Fourier análogas ao caso de velocidade.\n(c) Perfil de concentração: regime permanente \Rightarrow C(y)=Ay+B para condições de contorno Dirichlet; regime transiente \Rightarrow evolução com \delta\sim\sqrt{D t} e soluções error/Fourier análogas.\n(d) Equações governantes (unidimensional, sem convecção):\n \frac{\partial u}{\partial t}=\nu\,\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},\n \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2},\n \frac{\partial C}{\partial t}=D\,\frac{\partial^2 C}{\partial y^2}.

Exercícios relacionados