Determine:
A=P D P^{-1}
\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right), \quad \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right), \quad \vec{v}_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right)
Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear definida por:
T\left(\binom{x}{y}\right)=\binom{3 x+2 y}{-x+4 y}
a) A lei de formação matricial de T, ou seja, encontre a matriz A tal que:
para todo \vec{v} \in \mathbb{R}^{2}.
T(\vec{v})=A \vec{v}

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T\bigl(\binom{x}{y}\bigr)=\binom{3x+2y}{-x+4y}.
Queremos encontrar a matriz A tal que, para todo \vec v\in\mathbb{R}^2,
T(\vec v)=A\,\vec v.

Passo 2

Sabemos que, na base canônica de \mathbb{R}^2, as colunas de A são dadas pelas imagens dos vetores canônicos
\vec e_{1}=\binom{1}{0} e \vec e_{2}=\binom{0}{1} sob T.

Passo 3

Calcular T(\vec e_{1}):
T\bigl(\binom{1}{0}\bigr) =\binom{3\cdot1+2\cdot0}{-1+4\cdot0} =\binom{3}{-1}.

Passo 4

Calcular T(\vec e_{2}):
T\bigl(\binom{0}{1}\bigr) =\binom{3\cdot0+2\cdot1}{-0+4\cdot1} =\binom{2}{4}.

Passo 5

Formar a matriz A colocando \,T(\vec e_{1}) como primeira coluna e \,T(\vec e_{2}) como segunda coluna.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\\\ -1 & 4 \end{pmatrix}.

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