Seja C a curva de interseção das superficies S_{1}: z^{2}=9 x^{2}+9 y^{2} e S_{2}: z= 6+\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}. Determine a massa de um arame delgado que possui o formato de G, sabendo que sua densidade é dada por \rho(x, y, z)=\frac{|y|+z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z}.

Passo 1

O que temos é um fio com a forma da curva C, definida pela interseção de
S_{1}: z^{2}=9(x^{2}+y^{2})
e
S_{2}: z = 6 + \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}.
Queremos a massa
m = \int_{C} \rho(x,y,z)\,ds,
onde
\rho(x,y,z)=\frac{|y|+z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z}.
O conteúdo principal é integral de linha de uma densidade ao longo de C. Precisamos: (i) achar a equação de C, (ii) parametrizar C, (iii) montar \rho\,ds e (iv) integrar.

Passo 2

Para achar C, igualamos as expressões de z. De S_{1} com z\ge0 vem
z=3\sqrt{x^{2}+y^{2}},
que deve ser igual a 6+\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})}. Chamando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, temos
3r = 6 + \sqrt{4-r^{2}}.
Isolando e elevando ao quadrado obtemos
(3r-6)^{2}=4-r^{2} \;\Longrightarrow\; 10r^{2}-36r+32=0 \;\Longrightarrow\; r=2\quad(\text{única solução que satisfaz }3r-6\ge0).úçã
Logo r=2 e z=3\cdot2=6. A curva C é o círculo de raio 2 no plano z=6.

Passo 3

Parametrizamos esse círculo por
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (2\cos t,\;2\sin t,\;6), \quad t\in[0,2\pi].

Passo 4

Calculamos primeiro a velocidade r'(t) e seu módulo:
r'(t)=(-2\sin t,\;2\cos t,\;0),
\|r'(t)\|=\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}}=2.
Cada ponto tem densidade
\rho =\frac{|y|+z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z} =\frac{2|\sin t| + 36}{4 + 6} =\frac{2|\sin t|+36}{10} =\frac{1}{5}|\sin t| + \frac{18}{5}.
Portanto o elemento de massa é
\rho\,ds = \rho\,\|r'(t)\|\,dt =\Bigl(\frac{1}{5}|\sin t|+\frac{18}{5}\Bigr)\cdot 2\,dt =\frac{2}{5}|\sin t|\,dt + \frac{36}{5}\,dt.

Passo 5

Integramos de 0 a 2\pi:
m =\int_{0}^{2\pi}\Bigl(\frac{2}{5}|\sin t|+\frac{36}{5}\Bigr)dt =\frac{2}{5}\int_{0}^{2\pi}|\sin t|\,dt +\frac{36}{5}\int_{0}^{2\pi}dt.
Sabendo que \displaystyle\int_{0}^{2\pi}|\sin t|\,dt=4, temos
m =\frac{2}{5}\cdot4 + \frac{36}{5}\cdot2\pi =\frac{8}{5} + \frac{72\pi}{5} =\frac{8 + 72\pi}{5}.

Resposta

m = \frac{8 + 72\pi}{5}.

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