Seja
a curva de interseção das superficies
e
. Determine a massa de um arame delgado que possui o formato de
, sabendo que sua densidade é dada por
.
Passo 1
O que temos é um fio com a forma da curva
, definida pela interseção de
e
Queremos a massa
onde
O conteúdo principal é integral de linha de uma densidade ao longo de
. Precisamos: (i) achar a equação de
, (ii) parametrizar
, (iii) montar
e (iv) integrar.
Passo 2
Para achar
, igualamos as expressões de
. De
com
vem
que deve ser igual a
. Chamando
, temos
Isolando e elevando ao quadrado obtemos
Logo
e
. A curva
é o círculo de raio 2 no plano
.
Passo 3
Parametrizamos esse círculo por
Passo 4
Calculamos primeiro a velocidade
e seu módulo:
Cada ponto tem densidade
Portanto o elemento de massa é
Passo 5
Integramos de
a
:
Sabendo que
, temos