Questão 2 [2 pontos]
Considere a matriz A de orden 2:
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 2 & -2 \end{array}\right)
a) Determine as autovalores de A.
b) Para cada autovalor encontrado, determine um autovetor associado.
c) Diagonalize a matriz A, ou seja, encontre uma matriz diagonal D e uma matriz P de mudança de base tal que:
A=P D P^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix}
e pede:
a) os autovalores de A,
b) um autovetor para cada autovalor,
c) uma diagonalização A = P\,D\,P^{-1}.
Vamos usar o conceito de polinômio característico para encontrar os autovalores, depois resolver (A-\lambda I)x=0 para achar os autovetores, e finalmente montar P e D.]

Passo 2

O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\[4pt] 2 & -2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - 2\cdot2 = \lambda^2 + \lambda - 6.
Resolvendo
\lambda^2 + \lambda - 6 = 0
vem
\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2},
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\lambda_1 = 2 e \lambda_2 = -3.]

Passo 3

Para cada \lambda resolvemos (A - \lambda I)x=0:
Para \lambda_1 = 2:
A - 2I = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & -4\end{pmatrix},
da equação -x + 2y = 0 segue x = 2y. Tomando y=1, escolhemos
v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = -3:
A + 3I = \begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},
da equação 4x + 2y = 0 segue x = -\tfrac12 y. Tomando y=2, escolhemos
v_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montamos a matriz P com os autovetores como colunas e a matriz D dos autovalores na diagonal:
P = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix}.
Calculamos \det P = 2\cdot2 - (-1)\cdot1 = 5, assim
P^{-1} = \tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Verifica-se então que
A = P\,D\,P^{-1}.]

Resposta

(a) \lambda_1 = 2,\;\lambda_2 = -3.
(b) Autovetores: para \lambda_1=2, v_1=(2,1); para \lambda_2=-3, v_2=(-1,2).
(c)
P = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.]

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