Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente.
f(x)=e^3 x, g(x)=x e^3(x-1)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o par de funções
f(x)=e^3x e g(x)=x,e^3(x-1)
\u00e9 linearmente dependente ou independente.
O conte\u00fado usado ser\u00e1 o conceito de depend\u00eancia linear de fun\u00e7\u00f5es e, em particular, o c\u00e1lculo do Wronskiano para verificar se existe combina\u00e7\u00e3o linear n\u00e3o trivial que anule ambas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever g(x) de forma mais clara em termos de e^3x:
g(x)=x,e^3(x-1)=x,e^3x-3=e^-3,x,e^3x

Passo 3

Para aplicar o teste do Wronskiano, precisamos das derivadas:
f'(x)=ddxl(e^3xr)=3,e^3x,
g'(x)=ddxl(e^-3x,e^3xr) =e^-3l(e^3x+3x,e^3xr) =e^-3e^3x(1+3x)

Passo 4

O Wronskiano W(f,g)(x) é dado por
W(f,g)(x) = f(x) & g(x) f'(x) & g'(x) =f(x),g'(x)-f'(x),g(x)
Substituindo:
W(f,g)(x) =e^3xcdotl(e^-3e^3x(1+3x)r) -3e^3xcdotl(e^-3x,e^3xr) =e^6x-3l(1+3x-3xr) =e^6x-3

Passo 5

Como
;W(f,g)(x)=e^6x-3neq0 para todo x, concluímos que não existe combinação linear não trivial das funções que seja identicamente zero. Portanto, as funções são linearmente independentes.

Resposta

O par f,g é linearmente independente.

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