Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente.
f(x)=e^3 x cos (x), g(x)=e^3 x sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
f(x)=e^3xcos(x) e g(x)=e^3xsin(x)
são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo envolvido é conceito de independência linear de funções e cálculo do wronskiano.

Passo 2

Duas funções f e g são linearmente independentes em um intervalo se a única combinação linear
a,f(x)+b,g(x)=0 para todo x naquele intervalo ocorre quando a=b=0. Um critério prático é calcular o wronskiano
W(f,g)(x)= f(x) & g(x) [6pt] f'(x) & g'(x)
Se W(f,g)(x)neq0 em algum ponto (ou em todo o intervalo), então f e g são linearmente independentes.]

Passo 3

Vamos calcular as derivadas usando regra do produto. Para f(x)=e^3xcos(x):
f'(x) =l(e^3xr)'cos(x)+e^3xl(cos(x)r)' =3e^3xcos(x)-e^3xsin(x) =e^3xl(3cos(x)-sin(x)r)
Para g(x)=e^3xsin(x):
g'(x) =l(e^3xr)'sin(x)+e^3xl(sin(x)r)' =3e^3xsin(x)+e^3xcos(x) =e^3xl(3sin(x)+cos(x)r)

Passo 4

Agora montamos o wronskiano:
W(f,g)(x) =f(x),g'(x)-f'(x),g(x)
Substituindo:
W(f,g)(x) =e^3xcos(x)cdot e^3xl(3sin(x)+cos(x)r) -;e^3xl(3cos(x)-sin(x)r)cdot e^3xsin(x)

Passo 5

Fatorando e^3xcdot e^3x=e^6x:
W(f,g)(x) =e^6xl[cos(x)l(3sin(x)+cos(x)r) -l(3cos(x)-sin(x)r)sin(x)r]
Dentro do colchete:
cos(x),3sin(x)+cos^2(x) -3cos(x)sin(x)+sin^2(x) =cos^2(x)+sin^2(x)=1
Logo
W(f,g)(x)=e^6xcdot1=e^6x

Passo 6

Como e^6x>0 para todo x, temos W(f,g)(x)neq0 em qualquer ponto. Pelo critério do wronskiano, isso implica que f e g são linearmente independentes.

Resposta

As funções f(x)=e^3xcos(x) e g(x)=e^3xsin(x) são linearmente independentes.

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