Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
Metal CCC
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Cl}}=0,181 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cs}^{+}}=0,170 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{T}^{+}}=0,068 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140 \mathrm{~nm}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o parâmetro de rede (constante de rede) a e o fator de empacotamento atômico (APF) para estruturas do tipo “Metal CCC” (cúbica de corpo centrado, BCC).
Informações dadas (peguei estes valores do enunciado):
  • \mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102\\ \mathrm{nm}
  • \mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136\\ \mathrm{nm}
  • \mathrm{R}_{\mathrm{Cl}}=0,181\\ \mathrm{nm} (não é metal; relacionado a sais, vou ignorar para o cálculo do metal BCC)
  • \mathrm{R}_{\mathrm{cs}^{+}}=0,170\\ \mathrm{nm}
  • \mathrm{R}_{\mathrm{T}^{+}}=0,068\\ \mathrm{nm}
  • \mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140\\ \mathrm{nm} (oxigênio, não metal)
Decisão para a resolução:
  • Vou calcular a e o APF considerando as espécies metálicas listadas: \mathrm{Na}, \mathrm{Ba}, \mathrm{Cs} e a espécie rotulada \mathrm{T} (usarei o raio indicado \mathrm{R}_{\mathrm{T}^{+}}=0,068\\ \mathrm{nm} como raio atômico para aplicar a fórmula BCC).
  • Observação: o fator de empacotamento para BCC é sempre o mesmo (depende apenas da geometria), então ele será o mesmo para todos os metais BCC.

Passo 2

Geometria BCC e relação entre a e o raio atômico R.
  • Na rede cúbica de corpo centrado (BCC) os átomos dos cantos e o átomo central tocam-se ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial / diagonal do corpo).
  • A diagonal do corpo de um cubo de aresta a tem comprimento \sqrt{3}\,a.
  • Ao longo dessa diagonal, os centros dos átomos alinhados correspondem a uma sequência que contém quatro raios (dois raios de um átomo do canto, o átomo do centro e mais dois raios do outro canto), ou seja, \sqrt{3}\,a = 4R.
  • Assim, a relação entre a e R para BCC é:
a=\frac{4R}{\sqrt{3}}.
  • Vou usar essa fórmula para calcular a para cada metal, substituindo R pelo raio fornecido.

Passo 3

Cálculo do parâmetro de rede a para cada metal (contas passo a passo).
Constante \sqrt{3}\approx 1{,}7320508.
  • Para \mathrm{Na} com R=0{,}102\\ \mathrm{nm}:
a=\frac{4\cdot 0{,}102}{\sqrt{3}}=\frac{0{,}408}{1{,}7320508}\approx 0{,}23565\\ \mathrm{nm}\approx 0{,}236\\ \mathrm{nm}.
  • Para \mathrm{Ba} com R=0{,}136\\ \mathrm{nm}:
a=\frac{4\cdot 0{,}136}{\sqrt{3}}=\frac{0{,}544}{1{,}7320508}\approx 0{,}31423\\ \mathrm{nm}\approx 0{,}314\\ \mathrm{nm}.
  • Para \mathrm{Cs} com R=0{,}170\\ \mathrm{nm}:
a=\frac{4\cdot 0{,}170}{\sqrt{3}}=\frac{0{,}680}{1{,}7320508}\approx 0{,}39271\\ \mathrm{nm}\approx 0{,}393\\ \mathrm{nm}.
  • Para \mathrm{T} com R=0{,}068\\ \mathrm{nm}:
a=\frac{4\cdot 0{,}068}{\sqrt{3}}=\frac{0{,}272}{1{,}7320508}\approx 0{,}15707\\ \mathrm{nm}\approx 0{,}157\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Cálculo e interpretação do fator de empacotamento atômico (APF) para BCC — derivação didática.
  • Definição: o fator de empacotamento atômico (APF) é a fração do volume da cela unitária ocupada por átomos.
  • Em BCC há 2 átomos por cela unitária (8 cantos \times 1/8 cada + 1 átomo no centro = 2).
  • Volume ocupado pelos átomos (assumindo átomos esféricos de raio R):
V_{\text{átomos}}=2\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{8}{3}\pi R^{3}.á
  • Volume da cela unitária:
V_{\text{célula}}=a^{3}.é
  • Usando a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}}, temos
a^{3}=\left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{64R^{3}}{3\sqrt{3}}.
  • Assim o APF é
\text{APF}=\frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{célula}}} =\frac{\dfrac{8}{3}\pi R^{3}}{\dfrac{64R^{3}}{3\sqrt{3}}} =\frac{8\pi}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{64} =\frac{\pi\sqrt{3}}{8}.áé
  • Valor numérico:
\text{APF}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}68017476\approx 0{,}680.
  • Interpretação: cerca de 68{,}0\% do volume da cela unitária é ocupado por esferas atômicas em BCC; o restante ( \sim 32{,}0\%) é vazio.

Passo 5

Resumo dos resultados numéricos (valores arredondados de a e APF comum).
  • Valores calculados para a (em nm) já obtidos no Passo 3.
  • Fator de empacotamento (comum a todos os BCC):
\text{APF}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}680.

Resposta

\text{Na: } a=0{,}236\\ \mathrm{nm},\\ \text{APF}=0{,}680\n
\text{Ba: } a=0{,}314\\ \mathrm{nm},\\ \text{APF}=0{,}680\n
\text{Cs: } a=0{,}393\\ \mathrm{nm},\\ \text{APF}=0{,}680\n
\text{T: } a=0{,}157\\ \mathrm{nm},\\ \text{APF}=0{,}680

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