Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
NaCl
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Cl}}=0,181 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cs}^{+}}=0,170 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{T}^{+}}=0,068 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140 \mathrm{~nm}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o parâmetro de rede (aresta da célula unitária) da estrutura de NaCl.
  • Determinar o fator de empacotamento (fração do volume da célula ocupada pelos íons, tratados como esferas rígidas).
Informações relevantes dadas (peguei estes valores do enunciado):
  • R_{\mathrm{Na}^+}=0,102\\ \text{nm}
  • R_{\mathrm{Cl}^-}=0,181\\ \text{nm}
Observação: os outros raios fornecidos no enunciado não são necessários para a estrutura NaCl.

Passo 2

Entendendo a estrutura de NaCl (explicação didática):
  • A estrutura de NaCl (rocha-sal) pode ser vista como um reticulado cúbico de face centrada (cfc) para um dos íons (por exemplo, os \mathrm{Cl}^-) e os outros íons ( \mathrm{Na}^+) ocupam todos os sítios octaédricos desse cfc.
  • Em coordenadas: um \mathrm{Cl}^- em (0,0,0) e um \mathrm{Na}^+ em (\tfrac{1}{2},0,0) são vizinhos mais próximos.
  • A distância entre esses vizinhos (soma dos raios) é igual à metade da aresta da célula cúbica, porque a diferença de coordenadas é \tfrac{1}{2}a.
    Logo, vale a relação entre o parâmetro de rede a e os raios iônicos:
R_{\mathrm{Na}^+}+R_{\mathrm{Cl}^-}=\tfrac{a}{2}.

Passo 3

Determinar o parâmetro de rede a a partir da relação acima:
a=2\left(R_{\mathrm{Na}^+}+R_{\mathrm{Cl}^-}\right).
Agora substituindo os valores dados:
a=2\left(0,102+0,181\right)\\ \text{nm}=2\cdot 0,283\\ \text{nm}=0,566\\ \text{nm}.

Passo 4

Contagem de íons por célula unitária (explicação didática e necessária para o fator de empacotamento):
  • Na estrutura NaCl há 4 \mathrm{Cl}^- por célula unitária (8 vértices \times\tfrac{1}{8}=1 mais 6 faces \times\tfrac{1}{2}=3, total 1+3=4).
  • 4 \mathrm{Na}^+ por célula unitária (12 arestas \times\tfrac{1}{4}=3 mais 1 no centro do corpo =1, total 3+1=4).
    Portanto, na célula há 4 cátions e 4 ânions.

Passo 5

Fórmula do volume ocupado pelos íons (cada íon tratado como esfera):
  • Volume de uma esfera: \displaystyle V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Volume total de íons na célula:
V_{\text{íons}}=4\cdot\frac{4}{3}\pi R_{\mathrm{Na}^+}^{3}+4\cdot\frac{4}{3}\pi R_{\mathrm{Cl}^-}^{3}=\frac{16\pi}{3}\left(R_{\mathrm{Na}^+}^{3}+R_{\mathrm{Cl}^-}^{3}\right).í
Calcule os termos numéricos (faça essas contas passo a passo sem calculadora, aqui eu mostro os valores):
R_{\mathrm{Na}^+}^{3}=0,102^{3}=0,001061\ldots\\ \text{nm}^{3},
R_{\mathrm{Cl}^-}^{3}=0,181^{3}=0,0059297\ldots\\ \text{nm}^{3},
R_{\mathrm{Na}^+}^{3}+R_{\mathrm{Cl}^-}^{3}=0,0069909\ldots\\ \text{nm}^{3}.
Agora:
V_{\text{íons}}=\frac{16\pi}{3}\cdot 0,0069909\ldots\\ \text{nm}^{3}\approx 0,11706\\ \text{nm}^{3}.í

Passo 6

Volume da célula unitária e fator de empacotamento:
  • Volume da célula: \displaystyle V_{\text{célula}}=a^{3}=(0,566\\ \text{nm})^{3}=0,18132\\ \text{nm}^{3}é (aprox.).
  • Fator de empacotamento (PF) = volume ocupado pelos íons dividido pelo volume da célula:
\text{PF}=\frac{V_{\text{íons}}}{V_{\text{célula}}}=\frac{0,11706}{0,18132}\approx 0,6455\ldotsíé
Em porcentagem: \approx 64{,}6\%.
Interpretação rápida: isso significa que, tratando íons como esferas dos raios dados, cerca de 64{,}6\% do volume da célula cúbica está ocupado por matéria iônica.

Resposta

a=0,566\\ \text{nm}
\text{Fator de empacotamento} \approx 0,646\\ (\text{ou }64{,}6\%)

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