Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
Metal CFC
Dados:
Metal CFC
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar o parâmetro de rede
e o fator de empacotamento (atomic packing factor, APF) para um metal com estrutura CFC (cúbica de face centrada).
Informações fornecidas:
- Foram dados vários raios (em nm):
, , , , , .
Observação sobre os dados: são raios fornecidos (alguns parecem ser raios iônicos), mas para um metal CFC usa-se o raio atômico (esfera rígida que representa o átomo). Nesta resolução vou primeiro derivar as fórmulas gerais (em termos do raio atômico) e também mostrar como aplicar a fórmula se quiser inserir algum valor numérico de .
Passo 2
Geometria básica do reticulado CFC e relação entre
e o raio atômico
- Na estrutura CFC, as esferas (átomos) se tocam ao longo da diagonal de uma face do cubo. Imagine uma face do cubo: há um átomo em cada um dos dois cantos da face e um átomo no centro da face. A menor linha reta que conecta o centro de dois átomos que se tocam na face é a diagonal da face.
- Comprimento da diagonal de uma face em termos do parâmetro de rede
: a diagonal de face mede . - Ao longo dessa diagonal de face estão dois raios de átomos nos cantos e dois raios do átomo do centro da face (na geometria do contato efetivo), o que corresponde a um comprimento total de
quando os átomos tocam.
Portanto vale a igualdade:
Passo 3
Isolando
da relação anterior
- A partir de
divide-se por
e obtém-se:
- Simplificando o fator:
Explicação curta: essa fórmula diz que, conhecendo o raio atômico
, o parâmetro de rede
do cubo CFC é
vezes esse raio. É uma relação geométrica direta e muito usada em exercícios de estruturas cristalinas.
Passo 4
Número de átomos por célula unitária CFC e volume ocupado pelas esferas
- Na célula unitária CFC há 8 átomos nos cantos, cada um compartilhado entre 8 células unitárias (contribuição efetiva
átomo), e 6 átomos nos centros das faces, cada um compartilhado entre 2 células (contribuição átomos). Logo o número total de átomos efetivos por célula é
- Cada átomo é aproximado por uma esfera de volume
. O volume total ocupado por átomos dentro da célula é então
Passo 5
Volume da célula unitária e definição do fator de empacotamento (APF)
- O volume da célula cúbica é
- O fator de empacotamento é a fração do volume da célula ocupada pelas esferas atômicas:
Passo 6
Substituir
por
e simplificar a expressão do APF
- Substituindo
em :
(Outra forma direta:
.)
- Agora o APF:
- Cancelando
e :
Passo 7
Valor numérico do APF e interpretação
- Calculando numericamente:
- Interpretação: aproximadamente
do volume da célula unitária é ocupado pelos núcleos/esferas atômicas na estrutura CFC — isso é o empacotamento mais denso possível para esferas idênticas em empacotamento compacto (empacotamento cúbico de faces e hexagonal compacto têm o mesmo APF).
Resposta
Para um metal CFC:
Fator de empacotamento:
Fator de empacotamento: