Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
Metal CFC
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Cl}}=0,181 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cs}^{+}}=0,170 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{T}^{+}}=0,068 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140 \mathrm{~nm}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o parâmetro de rede a e o fator de empacotamento (atomic packing factor, APF) para um metal com estrutura CFC (cúbica de face centrada).
Informações fornecidas:
  • Foram dados vários raios (em nm): \mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102, \mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136, \mathrm{R}_{\mathrm{Cl}}=0,181, \mathrm{R}_{\mathrm{Cs}^{+}}=0,170, \mathrm{R}_{\mathrm{T}^{+}}=0,068, \mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140.
    Observação sobre os dados: são raios fornecidos (alguns parecem ser raios iônicos), mas para um metal CFC usa-se o raio atômico (esfera rígida que representa o átomo). Nesta resolução vou primeiro derivar as fórmulas gerais (em termos do raio atômico R) e também mostrar como aplicar a fórmula se quiser inserir algum valor numérico de R.

Passo 2

Geometria básica do reticulado CFC e relação entre a e o raio atômico R
  • Na estrutura CFC, as esferas (átomos) se tocam ao longo da diagonal de uma face do cubo. Imagine uma face do cubo: há um átomo em cada um dos dois cantos da face e um átomo no centro da face. A menor linha reta que conecta o centro de dois átomos que se tocam na face é a diagonal da face.
  • Comprimento da diagonal de uma face em termos do parâmetro de rede a: a diagonal de face mede a\sqrt{2}.
  • Ao longo dessa diagonal de face estão dois raios de átomos nos cantos e dois raios do átomo do centro da face (na geometria do contato efetivo), o que corresponde a um comprimento total de 4R quando os átomos tocam.
    Portanto vale a igualdade:
a\sqrt{2}=4R.

Passo 3

Isolando a da relação anterior
  • A partir de
a\sqrt{2}=4R,
divide-se por \sqrt{2} e obtém-se:
a=\frac{4R}{\sqrt{2}}.
  • Simplificando o fator:
a=2\sqrt{2}\,R.
Explicação curta: essa fórmula diz que, conhecendo o raio atômico R, o parâmetro de rede a do cubo CFC é 2\sqrt{2} vezes esse raio. É uma relação geométrica direta e muito usada em exercícios de estruturas cristalinas.

Passo 4

Número de átomos por célula unitária CFC e volume ocupado pelas esferas
  • Na célula unitária CFC há 8 átomos nos cantos, cada um compartilhado entre 8 células unitárias (contribuição efetiva 8\times\frac{1}{8}=1 átomo), e 6 átomos nos centros das faces, cada um compartilhado entre 2 células (contribuição 6\times\frac{1}{2}=3 átomos). Logo o número total de átomos efetivos por célula é
N=1+3=4.
  • Cada átomo é aproximado por uma esfera de volume \dfrac{4}{3}\pi R^{3}. O volume total ocupado por átomos dentro da célula é então
V_{\text{átomos}}=N\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}=4\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{16}{3}\pi R^{3}.á

Passo 5

Volume da célula unitária e definição do fator de empacotamento (APF)
  • O volume da célula cúbica é
V_{\text{célula}}=a^{3}.é
  • O fator de empacotamento é a fração do volume da célula ocupada pelas esferas atômicas:
\text{APF}=\frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{célula}}}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi R^{3}}{a^{3}}.áé

Passo 6

Substituir a por 2\sqrt{2}\,R e simplificar a expressão do APF
  • Substituindo a=2\sqrt{2}\,R em a^{3}:
a^{3}=(2\sqrt{2}\,R)^{3}=2^{3}(\sqrt{2})^{3}R^{3}=8\cdot 2^{3/2}R^{3}=8\cdot 2\sqrt{2}\,R^{3}=16\sqrt{2}\,R^{3}.
(Outra forma direta: (2\sqrt{2})^{3}=8\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}.)
  • Agora o APF:
\text{APF}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi R^{3}}{16\sqrt{2}\,R^{3}}.
  • Cancelando 16 e R^{3}:
\text{APF}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.

Passo 7

Valor numérico do APF e interpretação
  • Calculando numericamente:
\text{APF}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0,74048\ldots
  • Interpretação: aproximadamente 74,05\% do volume da célula unitária é ocupado pelos núcleos/esferas atômicas na estrutura CFC — isso é o empacotamento mais denso possível para esferas idênticas em empacotamento compacto (empacotamento cúbico de faces e hexagonal compacto têm o mesmo APF).

Resposta

Para um metal CFC: a=2\sqrt{2}\,R
Fator de empacotamento: \displaystyle \text{APF}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx0,74048

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