Determine quais dos pares de funções dadas são linearmente independentes nos intervalos indicados. .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções e são linearmente independentes em . O conteúdo envolve teste de independência linear de funções usando o Wronskiano.
Passo 2
Para testar independência linear de duas funções, usamos o Wronskiano definido por
Primeiro, calculamos as derivadas:
f'(t)=e^t,
g'(t)=ddt(t e^t)=e^t + t e^t=(t+1)e^t
Passo 3
Agora montamos e calculamos o determinante:
W(f,g)(t)=e^t & t e^te^t & (t+1)e^t=e^tcdot(t+1)e^t - t e^tcdot e^t=e^2tl((t+1)-tr)=e^2t
Passo 4
Como e^2t nunca é zero para todo tinR, o Wronskiano é diferente de zero em R. Isso implica que f e g são linearmente independentes no intervalo indicado.
Resposta
As funções f(t)=e^{t} e g(t)=t e^{t} são linearmente independentes em R.