Determine quais dos pares de funções dadas são linearmente independentes nos intervalos indicados.
f(t)=e^t, g(t)=t e^t em R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções f(t)=e^t e g(t)=t e^t são linearmente independentes em R. O conteúdo envolve teste de independência linear de funções usando o Wronskiano.

Passo 2

Para testar independência linear de duas funções, usamos o Wronskiano definido por
W(f,g)(t)=f(t)&g(t)f'(t)&g'(t)
Primeiro, calculamos as derivadas:
f'(t)=e^t,
g'(t)=ddt(t e^t)=e^t + t e^t=(t+1)e^t

Passo 3

Agora montamos e calculamos o determinante:
W(f,g)(t)=e^t & t e^te^t & (t+1)e^t=e^tcdot(t+1)e^t - t e^tcdot e^t=e^2tl((t+1)-tr)=e^2t

Passo 4

Como e^2t nunca é zero para todo tinR, o Wronskiano é diferente de zero em R. Isso implica que f e g são linearmente independentes no intervalo indicado.

Resposta

As funções f(t)=e^{t} e g(t)=t e^{t} são linearmente independentes em R.

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