[Exercícios 2-6] Calcule as seguintes integrais duplas sobre retângulos:
integralR^R integralR 1x+y+1 d A ; R=(x, y) in R^2: 1 <= x <= 3,1 <= y <= 2.

Passo 1

Temos que calcular a integral dupla integral duplaR 1x+y+1 ,dA sobre o retângulo R=(x,y):1<= x<=3,;1<= y<=2. O conteúdo é integração dupla sobre retângulos usando a forma de integração iterada e antiderivadas.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada na ordem y depois x:
integralx=1^3l(integraly=1^21x+y+1,dyr)dx
Para a integral interna em y, a primitiva de 1x+y+1 em relação a y é ln(x+y+1).

Passo 3

Avaliamos de y=1 a y=2:
integral1^21x+y+1,dy = [ln(x+y+1)]y=1^2 = ln(x+3)-ln(x+2)
Logo a integral torna-se
integral1^3l(ln(x+3)-ln(x+2)r)dx

Passo 4

Para calcular integralln(u),du, usamos a fórmula de antiderivada
integralln(u),du = uln u - u
Aplicamos em u=x+3 e u=x+2, obtendo as primitivas (x+3)ln(x+3)-(x+3) e (x+2)ln(x+2)-(x+2).

Passo 5

Avaliamos cada termo de x=1 a x=3 e subtraímos o segundo do primeiro. A diferença resulta em
l(6ln6 -4ln4 -2r) - l(5ln5 -3ln3 -2r)
que simplifica para
-2ln2 +9ln3 -5ln5

Resposta

-2ln2 +9ln3 -5ln5

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