Sabendo que f(x) <= g(x) <= h(x) para todo x, f(x)=10 x^2-x5 x^2+x+1 e h(x)=k(3-1x). Aplicando o Teorema do sanduíche, foi possível calcular lim x +infty g(x). Qual o valor de k?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três funções $ f(x) $, $ g(x) $ e $ h(x) $ que satisfazem a desigualdade $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ para todo $ x $. As funções são dadas por:
f(x)
g(x)
O enunciado menciona o uso do Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Pinça) para encontrar o limite de $ g(x) $ quando $ x $ tende a mais infinito. Nosso objetivo é descobrir o valor de $ k $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções racionais e aplicar o Teorema do Sanduíche, que nos ajuda a determinar limites quando uma função está “entre” duas outras que têm o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ vai para mais infinito. Olhando para $ f(x) $:
f(x)
Quando $ x $ fica muito grande, os termos de maior grau (aqui, $ x^2 $) dominam. Então, podemos simplificar ignorando os termos de menor grau:
x
Portanto:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de $ h(x) $ quando $ x $ vai para mais infinito. A função $ h(x) $ é dada por:
h(x)
À medida que $ x $ cresce, $ \frac{1}{x} $ se aproxima de zero. Então, temos:
x

Passo 4

De acordo com o Teorema do Sanduíche, se $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ para todo $ x $ e os limites de $ f(x) $ e $ h(x) $ são iguais quando $ x $ tende a mais infinito, então $ g(x) $ também deve ter esse mesmo limite.
Então, para que possamos aplicar o teorema, precisamos que:
f(x) <= g(x) <= h(x)
Já sabemos que $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 $ e $ \lim_{x \to +\infty} h(x) = 3k $. Portanto:
x

Passo 5

Agora, é só resolver essa equação simples para encontrar $ k $:
k

Resposta

O valor de $ k $ é $ \frac{2}{3} $.

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