Sabendo que
para todo
e
. Aplicando o Teorema do sanduíche, foi possível calcular
. Qual o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três funções $ f(x) $, $ g(x) $ e $ h(x) $ que satisfazem a desigualdade $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ para todo $ x $. As funções são dadas por:
O enunciado menciona o uso do Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Pinça) para encontrar o limite de $ g(x) $ quando $ x $ tende a mais infinito. Nosso objetivo é descobrir o valor de $ k $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções racionais e aplicar o Teorema do Sanduíche, que nos ajuda a determinar limites quando uma função está “entre” duas outras que têm o mesmo limite.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ vai para mais infinito. Olhando para $ f(x) $:
Quando $ x $ fica muito grande, os termos de maior grau (aqui, $ x^2 $) dominam. Então, podemos simplificar ignorando os termos de menor grau:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de $ h(x) $ quando $ x $ vai para mais infinito. A função $ h(x) $ é dada por:
À medida que $ x $ cresce, $ \frac{1}{x} $ se aproxima de zero. Então, temos:
Passo 4
De acordo com o Teorema do Sanduíche, se $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ para todo $ x $ e os limites de $ f(x) $ e $ h(x) $ são iguais quando $ x $ tende a mais infinito, então $ g(x) $ também deve ter esse mesmo limite.
Então, para que possamos aplicar o teorema, precisamos que:
Já sabemos que $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 $ e $ \lim_{x \to +\infty} h(x) = 3k $. Portanto:
Passo 5
Agora, é só resolver essa equação simples para encontrar $ k $:
Resposta
O valor de $ k $ é $ \frac{2}{3} $.