1. Determine a parte real u(x, y) e a parte imaginária v(x, y) da função complexa f(z)=\log (1-z) no ramo principal.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a parte real u(x,y) e a parte imaginária v(x,y) da função complexa f(z)=\log(1-z) no ramo principal.
Dados fornecidos e informações explícitas do enunciado:
  • A função é f(z)=\log(1-z).
  • O ramo é o ramo principal do logaritmo complexo (isto está no enunciado).
  • Devemos escrever u e v em termos de x e y, onde z=x+iy com x,y reais.

Passo 2

Vamos relembrar (com calma) o que significa o logaritmo complexo no ramo principal — isso é essencial para entender a resposta. Para um número complexo w\neq 0,
\log w = \ln|w| + i\,\Arg(w),
onde |w| é o módulo de w e \Arg(w) é o argumento principal de w, isto é, o ângulo de w escolhido no intervalo (-\pi,\pi]. Aqui \ln é o logaritmo natural real aplicado ao módulo. Essa fórmula nos diz que a parte real de \log w é \ln|w| e a parte imaginária é \Arg(w).

Passo 3

Aplicando isso a w=1-z. Primeiro escrevemos z em coordenadas reais:
z = x + i y.
Portanto
1-z = 1 - x - i y.
Para simplificar, defina
a = 1-x,\qquad b = -y,
assim 1-z = a + i b. Esses a e b são números reais: a é a parte real de 1-z e b é a parte imaginária de 1-z.

Passo 4

Calcule o módulo |1-z|. Pela definição do módulo,
|1-z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(1-x)^2+y^2}.
A parte real u(x,y) de \log(1-z) é \ln|1-z|. Usando que \ln\sqrt{A}=\tfrac{1}{2}\ln A, obtemos
u(x,y)=\ln|1-z|=\ln\sqrt{(1-x)^2+y^2}=\tfrac{1}{2}\ln\bigl((1-x)^2+y^2\bigr).
Expliquei cada passo: primeiro achar o módulo como raiz quadrada da soma dos quadrados, depois aplicar o log natural.

Passo 5

Agora a parte imaginária v(x,y) é o argumento principal de 1-z:
v(x,y)=\Arg(1-z)=\Arg(a+ib)=\Arg\bigl(1-x - i y\bigr).
Uma forma prática de escrever o argumento é usando a função de duas variáveis \operatorname{atan2}, que já cuida das correções de quadrante:
v(x,y)=\operatorname{atan2}\bigl(-y,\,1-x\bigr),
onde \operatorname{atan2}(b,a) retorna o ângulo em (-\pi,\pi] cujo cosseno e seno correspondem às coordenadas (a,b).

Passo 6

Se você preferir uma expressão usando \arctan\) (mais comum em provas), precisa cuidar das correções de quadrante. Uma forma equivalente, escrita em casos, é: \[v(x,y)= \begin{cases} \arctan\!\displaystyle\left(\dfrac{-y}{\,1-x\,}\right), & \text{se }1-x>0,\\[6pt] \arctan\!\displaystyle\left(\dfrac{-y}{\,1-x\,}\right)+\pi, & \text{se }1-x<0\text{ e }y\ge 0,\\[6pt] \arctan\!\displaystyle\left(\dfrac{-y}{\,1-x\,}\right)-\pi, & \text{se }1-x<0\text{ e }y<0,\\[6pt] -\dfrac{\pi}{2}, & \text{se }1-x=0\text{ e }y>0,\\[4pt] +\dfrac{\pi}{2}, & \text{se }1-x=0\text{ e }y<0. \end{cases}
Essa escrita com casos reproduz precisamente o valor do argumento no intervalo (-\pi,\pi]\]. Note que \(1-x=0 e y=0 significa 1-z=0 (ou seja z=1), ponto onde o logaritmo não está definido.]

Passo 7

É importante perceber a respectiva linha de corte do ramo principal: o log no ramo principal é definido para 1-z\notin(-\infty,0]. Isso em termos de z significa que não podemos ter 1-z real e não positivo, ou seja, pontos com y=0 e x\ge 1 (a partir de x=1 para a direita na reta real) estão sobre o ramo cortado; em particular z=1 é singular ( \log indefinido).

Resposta

u(x,y)=\dfrac{1}{2}\ln\bigl((1-x)^2+y^2\bigr)
v(x,y)=\operatorname{atan2}\bigl(-y,\,1-x\bigr)

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