Estabeleça os seguintes limites utilizando a definição:
.
Passo 1
O enunciado pede que comprovemos, usando a definição de limite, que
Informações dadas:
Passo 2
Vamos recordar a definição de limite para funções complexas (é análoga à definição real). Dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
se
se
então
Aqui
é o módulo (a norma) de um número complexo: se
então
. A ideia é: podemos tornar
tão perto de
quanto quisermos, escolhendo
suficientemente perto de
.
Passo 3
Para aplicar a definição, calculemos a diferença
. Substituindo
e
,
Agrupando os termos
cancelam-se, portanto
Passo 4
Agora tomamos o módulo da expressão. Usamos a propriedade do módulo em complexos
e
. Assim,
Esse cálculo é crucial: a diferença entre
e
é exatamente
vezes a distância entre
e
.
Passo 5
Dada qualquer
, queremos garantir
. A partir da relação anterior, basta fazer
Isto acontece sempre que
Portanto escolha
. Então, para todo
com
teremos
Passo 6
Como para todo
conseguimos um
(especificamente
) que garante
, pela definição concluímos que
Dica amigável: funções lineares do tipo
são contínuas, então o limite em
é sempre
; aqui
,
e
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar: escolha
. Então
. Se
satisfaz
então
confirmando concretamente o controle do erro.