Estabeleça os seguintes limites utilizando a definição:
\lim _{z \rightarrow 2 i} 2 z-5=4 i-5.

Passo 1

O enunciado pede que comprovemos, usando a definição de limite, que
\lim_{z\to 2i} 2z-5 = 4i-5.
Informações dadas:
\text{função: } f(z)=2z-5, \qquad \text{ponto de limite: } z_0=2i, \qquad \text{valor candidato do limite: } L=4i-5.çã

Passo 2

Vamos recordar a definição de limite para funções complexas (é análoga à definição real). Dizemos que
\lim_{z\to z_0} f(z)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo z,
se
0<|z-z_0|<\delta
então
|f(z)-L|<\varepsilon.
Aqui |\cdot| é o módulo (a norma) de um número complexo: se w=x+iy então |w|=\sqrt{x^2+y^2}. A ideia é: podemos tornar f(z) tão perto de L quanto quisermos, escolhendo z suficientemente perto de z_0.

Passo 3

Para aplicar a definição, calculemos a diferença f(z)-L. Substituindo f(z)=2z-5 e L=4i-5,
f(z)-L = (2z-5)-(4i-5).
Agrupando os termos -5 cancelam-se, portanto
f(z)-L = 2z-4i = 2(z-2i).

Passo 4

Agora tomamos o módulo da expressão. Usamos a propriedade do módulo em complexos |ab|=|a||b| e |2|=2. Assim,
|f(z)-L| = |2(z-2i)| = 2\,|z-2i|.
Esse cálculo é crucial: a diferença entre f(z) e L é exatamente 2 vezes a distância entre z e 2i.

Passo 5

Dada qualquer \varepsilon>0, queremos garantir |f(z)-L|<\varepsilon. A partir da relação anterior, basta fazer
2\,|z-2i|<\varepsilon.
Isto acontece sempre que
|z-2i|<\frac{\varepsilon}{2}.
Portanto escolha \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}. Então, para todo z com 0<|z-2i|<\delta teremos
|f(z)-L|=2|z-2i|<2\delta=2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.

Passo 6

Como para todo \varepsilon>0 conseguimos um \delta>0 (especificamente \delta=\varepsilon/2) que garante 0<|z-2i|<\delta \Rightarrow |f(z)-L|<\varepsilon, pela definição concluímos que
\lim_{z\to 2i} 2z-5 = 4i-5.
Dica amigável: funções lineares do tipo az+b são contínuas, então o limite em z_0 é sempre a z_0 + b; aqui a=2, b=-5 e 2\cdot 2i-5=4i-5.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar: escolha \varepsilon=0{,}1. Então \delta=\varepsilon/2=0{,}05. Se z satisfaz 0<|z-2i|<0{,}05 então
|2z-5-(4i-5)|=2|z-2i|<2\cdot 0{,}05=0{,}1,
confirmando concretamente o controle do erro.

Resposta

\,4i-5\,

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