Calcule as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas específicas: calcular
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função depende de duas variáveis independentes
e . - Os pontos onde devemos avaliar as derivadas parciais são
e . - Não há outros dados nem restrições; pode-se diferenciar normalmente assumindo
e reais.
Passo 2
O que é derivada parcial (explicação didática)?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede como varia quando muda e fica fixo. - Analogamente,
mede a variação de quando muda e fica fixo. - Para calcular uma derivada parcial, trata-se a outra variável como constante e aplica-se as regras usuais de derivação (regra do produto, regra da cadeia, etc.).
Exemplo rápido e intuitivo antes de resolver: para
tem-se
(porque trata-se
como constante) e
.
Passo 3
Cálculo de
(passo a passo):
- Escrever
de forma a evidenciar que é constante quando diferenciamos em relação a :
Aqui
é um fator constante (ao derivar em relação a
).
- Aplicar a regra do produto para as duas funções de
: e . (Regra do produto: .) - Derivar
em relação a : . - Derivar
em relação a : usar regra da cadeia. A função é com . Então (porque tratando como constante). - Juntando tudo:
- Simplificar fatorando
:
- Avaliar em
:
Passo 4
Cálculo de
(passo a passo):
- Agora trata-se
como constante. Reescrever:
Pode-se ver
como constante multiplicativa e aplicar a regra do produto entre
e
.
- Regra do produto entre
e : -
. -
pela regra da cadeia (agora porque é constante).
-
- Então
- Avaliar em
:
Passo 5
Resumo dos resultados e dica de prova:
- Resultado obtido:
e . - Dica rápida para provas: ao diferenciar funções do tipo polinômio vezes
, sempre identifique a ordem de produto, trate a variável não diferenciada como constante, aplique produto + cadeia explicitamente e, se possível, fatorar para simplificar e evitar erros de sinais.