Calcule as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=x^{2} y e^{x y} ; \quad \partial f / \partial x(1,1), \partial f / \partial y(1,1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}y e^{xy}
e pede duas coisas específicas: calcular
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função depende de duas variáveis independentes x e y.
  • Os pontos onde devemos avaliar as derivadas parciais são x=1 e y=1.
  • Não há outros dados nem restrições; pode-se diferenciar normalmente assumindo x e y reais.

Passo 2

O que é derivada parcial (explicação didática)?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando x muda e y fica fixo.
  • Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a variação de f quando y muda e x fica fixo.
  • Para calcular uma derivada parcial, trata-se a outra variável como constante e aplica-se as regras usuais de derivação (regra do produto, regra da cadeia, etc.).
Exemplo rápido e intuitivo antes de resolver: para g(x,y)=xy tem-se \dfrac{\partial g}{\partial x}=y (porque trata-se y como constante) e \dfrac{\partial g}{\partial y}=x.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) (passo a passo):
  • Escrever f de forma a evidenciar que y é constante quando diferenciamos em relação a x:
f(x,y)=y\cdot x^{2}\cdot e^{xy}.
Aqui y é um fator constante (ao derivar em relação a x).
  • Aplicar a regra do produto para as duas funções de x: x^{2} e e^{xy}. (Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.)
  • Derivar x^{2} em relação a x: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Derivar e^{xy} em relação a x: usar regra da cadeia. A função é e^{u} com u=xy. Então \dfrac{d}{dx}e^{xy}=e^{xy}\cdot \dfrac{d}{dx}(xy)=e^{xy}\cdot y (porque \dfrac{d}{dx}(xy)=y tratando y como constante).
  • Juntando tudo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y\left( \frac{d}{dx}x^{2}\cdot e^{xy} + x^{2}\cdot \frac{d}{dx}e^{xy} \right) = y\left( 2x e^{xy} + x^{2} e^{xy} y \right).
  • Simplificar fatorando e^{xy}:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= e^{xy}\big(2xy + x^{2}y^{2}\big).
  • Avaliar em (x,y)=(1,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)= e^{1}\big(2\cdot1\cdot1 + 1^{2}\cdot1^{2}\big)= e(2+1)=3e.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) (passo a passo):
  • Agora trata-se x como constante. Reescrever:
f(x,y)=x^{2}\cdot y \cdot e^{xy}.
Pode-se ver x^{2} como constante multiplicativa e aplicar a regra do produto entre y e e^{xy}.
  • Regra do produto entre y e e^{xy}:
    • \dfrac{d}{dy}y=1.
    • \dfrac{d}{dy}e^{xy}=e^{xy}\cdot \dfrac{d}{dy}(xy)=e^{xy}\cdot x pela regra da cadeia (agora \dfrac{d}{dy}(xy)=x porque x é constante).
  • Então
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^{2}\left( 1\cdot e^{xy} + y\cdot e^{xy}\cdot x \right) = x^{2} e^{xy}\big(1 + xy\big).
  • Avaliar em (x,y)=(1,1):
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)= 1^{2} e^{1}\big(1 + 1\cdot1\big)= e(1+1)=2e.

Passo 5

Resumo dos resultados e dica de prova:
  • Resultado obtido: \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)=3e e \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1)=2e.
  • Dica rápida para provas: ao diferenciar funções do tipo polinômio vezes e^{(\text{produto})}, sempre identifique a ordem de produto, trate a variável não diferenciada como constante, aplique produto + cadeia explicitamente e, se possível, fatorar e^{xy} para simplificar e evitar erros de sinais.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)=3e
\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1)=2e

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