Determine: a, K, T c, T s e T r a partir da FT.
\mathrm{G}(s)=\frac{15}{(s+20)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência
G(s)=\dfrac{15}{s+20}.
Pede para determinar os parâmetros a, K, T_c, T_s e T_r.
Informações relevantes dadas:
  • A função de transferência é de primeira ordem (denominador linear em s).
  • Não há outra informação extra, então usaremos as definições padrão para sistemas de primeira ordem:
    • a será o coeficiente que aparece em s+a (polo em -a);
    • K será o ganho estático (valor final da resposta ao degrau unitário);
    • T_c será a constante de tempo \tau;
    • T_s será o tempo de acomodação (critério de 2\%);
    • T_r será o tempo de subida definido como o tempo para a resposta ir de 10\% a 90\% do valor final.

Passo 2

Colocar G(s) na forma canônica usual de primeira ordem \dfrac{K}{\tau s+1} para identificar K e \tau.
Começo fatorando o denominador:
s+20 = 20\!\left(\dfrac{1}{20}s+1\right).
Logo
G(s)=\dfrac{15}{s+20}=\dfrac{15}{20\!\left(\dfrac{1}{20}s+1\right)}=\dfrac{15/20}{\dfrac{1}{20}s+1}.
Comparando com \dfrac{K}{\tau s+1} obtemos
\tau=\dfrac{1}{20},\qquad K=\dfrac{15}{20}.

Passo 3

Interpretação e unidades:
  • O polo do sistema está em s=-20, então o parâmetro a (coisa que aparece em s+a) é a=20\quad(\text{unidade: }{\rm s^{-1}}).
  • A constante de tempo é \tau=T_c=\dfrac{1}{20}=0,05\\ \mathrm{s}.Explicação curta: a constante de tempo \tau aparece na resposta ao degrau de primeira ordem y(t)=K\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr). Ela mede a velocidade de decaimento do exponencial.
  • O ganho estático K (valor final para um degrau unitário) pode ser verificado usando o teorema do valor final: \lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}G(s)=G(0)=\dfrac{15}{20}=0,75.Então K=0,75.

Passo 4

Cálculo do tempo de acomodação T_s (critério de 2\%).
Para uma resposta de primeira ordem, o erro relativo após tempo t é e^{-t/\tau}. Queremos e^{-T_s/\tau}=0,02. Daí
T_s=-\tau\ln(0,02)=\tau\ln\!\left(\dfrac{1}{0,02}\right)=\tau\ln(50).
Substituindo \tau=0,05\\ \mathrm{s}:
T_s=0,05\cdot\ln(50)\approx 0,05\cdot 3,912023\approx 0,1956\\ \mathrm{s}.
Observação prática: costuma-se aproximar T_s\approx 4\tau, que dá 4\cdot0,05=0,20\\ \mathrm{s}. A expressão exata para 2% é a que foi calculada acima.

Passo 5

Cálculo do tempo de subida T_r (definido aqui como tempo de 10\% a 90\% do valor final).
Para resposta de degrau y(t)=K(1-e^{-t/\tau}):
  • tempo para atingir 10\%: t_{10}=-\tau\ln(0,9);
  • tempo para atingir 90\%: t_{90}=-\tau\ln(0,1)=\tau\ln(10).
Então
T_r=t_{90}-t_{10}=\tau\bigl(\ln(10)+\ln(0,9)\bigr)=\tau\ln(9).
Substituindo \tau=0,05\\ \mathrm{s}:
T_r=0,05\cdot\ln(9)\approx 0,05\cdot 2,197225\approx 0,1099\\ \mathrm{s}.

Resposta

a=20\\ \mathrm{s^{-1}}
K=0,75
T_c=0,05\\ \mathrm{s}
T_s\approx 0,196\\ \mathrm{s}
T_r\approx 0,110\\ \mathrm{s}

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