Determine a pca da reta
x=t, y=t, z=t que tem a mesma orientação que a reta dada e tem o ponto de referência (0,0,0).

Passo 1

Estamos com a reta dada por
x=t,\quad y=t,\quad z=t
e queremos a parametrização pelo comprimento de arco (p.c.a.) desta reta, na mesma orientação (isto é, para s crescente a reta é percorrida no mesmo sentido que para t crescente) e tal que o ponto de referência seja (0,0,0).

Passo 2

Escrevemos a reta como função vetorial de t:
\mathbf{r}(t) = \langle t,\,t,\,t\rangle.
A derivada \mathbf{r}'(t) é o vetor de direção
\mathbf{v} = \langle 1,1,1\rangle.

Passo 3

O módulo da velocidade é constante e vale
\|\mathbf{r}'(t)\| = \|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}.
Logo, o comprimento de arco desde t=0 até um parâmetro t é
s(t) = \int_{0}^{t} \|\mathbf{r}'(u)\|\,du = \int_{0}^{t} \sqrt{3}\,du = \sqrt{3}\,t.

Passo 4

Para usar s como parâmetro, invertemos a relação s=\sqrt{3}\,t, obtendo
t = \frac{s}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Substituindo t(s)=s/\sqrt{3} em \mathbf{r}(t), a parametrização pelo comprimento de arco é
\mathbf{c}(s) =\mathbf{r}\!\bigl(t(s)\bigr) =\Bigl\langle \tfrac{s}{\sqrt{3}},\,\tfrac{s}{\sqrt{3}},\,\tfrac{s}{\sqrt{3}}\Bigr\rangle,
com s\in\mathbb{R} e \mathbf{c}(0)=(0,0,0).

Resposta

\mathbf{c}(s)=\Bigl(\tfrac{s}{\sqrt{3}},\,\tfrac{s}{\sqrt{3}},\,\tfrac{s}{\sqrt{3}}\Bigr).

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