Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a série \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n}\dfrac{1}{n\sqrt{\ln n}}.
  • Pergunta: determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
  • Informação útil que temos explícita no enunciado: o fator (-1)^n indica que os termos alternam de sinal; o módulo dos termos é b_n=\dfrac{1}{n\sqrt{\ln n}} para n\ge 2.

Passo 2

Testar convergência absoluta (isto é, da série dos módulos). A série dos módulos é
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{\ln n}}.
Vou usar o Teste da Integral, que diz: se f(x) é positiva, contínua e monotona decrescente para x\ge a, então \sum_{n=\lceil a\rceil}^\infty f(n) converge se e só se \int_a^\infty f(x)\,dx converge. Aqui tomo f(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{\ln x}} para x\ge2. Nota rápida: f é positiva para x>1 e (vamos verificar depois) decrescente para x\ge2, então podemos aplicar o teste.
Calculo a integral imprópria correspondente:
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{\ln x}}\,dx.
Faço a substituição u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx. Quando x=2 tem u=\ln 2; quando x\to\infty tem u\to\infty. A integral fica
\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{u}}\,du.
Essa é uma integral elementar:
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-1/2}\,du = \left[ 2u^{1/2} \right]_{\ln 2}^{\infty} = \lim_{M\to\infty} 2\sqrt{M} - 2\sqrt{\ln 2} = \infty.
Portanto a integral diverge, e pelo Teste da Integral a série \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n\sqrt{\ln n}} também diverge.
Conclusão parcial: a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Testar convergência da série alternada com sinais (convergência condicional possível). A série original é alternada, de termos a_n = (-1)^n b_n com b_n=\dfrac{1}{n\sqrt{\ln n}}\ge0. Vou aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada), que afirma: se b_n é monotona não crescente a partir de algum N e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Primeiro, verifico \lim_{n\to\infty} b_n = 0. Como \ln n \to \infty quando n\to\infty, o denominador n\sqrt{\ln n} vai para infinito, logo
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n\sqrt{\ln n}} = 0.
Uma observação simples: \dfrac{1}{n\sqrt{\ln n}} \le \dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n}\to0, então já se vê o limite zero.
Segundo, verificar que b_n é monotona decrescente (a partir de algum ponto). Para isso, é prático analisar a função contínua f(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{\ln x}} para x\ge2 e mostrar que f'(x)<0 para x\ge2. Calculo f'(x):
Começo escrevendo f(x)=x^{-1}(\ln x)^{-1/2}. Diferenciando,
f'(x) = -x^{-2}(\ln x)^{-1/2} + x^{-1}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(\ln x)^{-3/2}\cdot\frac{1}{x}.
Colocando em comum:
f'(x) = -\frac{1}{x^2}(\ln x)^{-3/2}\Big(\ln x + \tfrac{1}{2}\Big).
Para x\ge2 tem \ln x>0, logo \ln x+\tfrac{1}{2}>0. Assim f'(x)<0 para todo x\ge2. Isso mostra que f é estritamente decrescente em [2,\infty), portanto b_n=f(n) é decrescente para n\ge2.
Como ambas as hipóteses do Teste de Leibniz estão satisfeitas ( b_n\searrow 0 ), a série alternada
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n\sqrt{\ln n}}
converge.

Passo 4

Juntando os resultados: a série converge (por Leibniz) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge pelo Teste da Integral). Essa combinação caracteriza convergência condicional.
Um comentário encorajador: a ideia-chave para a prova foi reconhecer que os módulos decrescem e tendem a zero (o que garante convergência alternada), enquanto a presença do fator \sqrt{\ln n} não é suficiente para tornar a série dos módulos comparável a uma p-série convergente — a integral mostrou a divergência absoluta.

Resposta

Convergente condicionalmente.

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