Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a série
. - Pergunta: determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
- Informação útil que temos explícita no enunciado: o fator
indica que os termos alternam de sinal; o módulo dos termos é para .
Passo 2
Testar convergência absoluta (isto é, da série dos módulos). A série dos módulos é
Vou usar o Teste da Integral, que diz: se
é positiva, contínua e monotona decrescente para
, então
converge se e só se
converge. Aqui tomo
para
. Nota rápida:
é positiva para
e (vamos verificar depois) decrescente para
, então podemos aplicar o teste.
Calculo a integral imprópria correspondente:
Faço a substituição
. Então
. Quando
tem
; quando
tem
. A integral fica
Essa é uma integral elementar:
Portanto a integral diverge, e pelo Teste da Integral a série
também diverge.
Conclusão parcial: a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Testar convergência da série alternada com sinais (convergência condicional possível). A série original é alternada, de termos
com
. Vou aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada), que afirma: se
é monotona não crescente a partir de algum
e
, então
converge.
Primeiro, verifico
. Como
quando
, o denominador
vai para infinito, logo
Uma observação simples:
e
, então já se vê o limite zero.
Segundo, verificar que
é monotona decrescente (a partir de algum ponto). Para isso, é prático analisar a função contínua
para
e mostrar que
para
. Calculo
:
Começo escrevendo
. Diferenciando,
Colocando em comum:
Para
tem
, logo
. Assim
para todo
. Isso mostra que
é estritamente decrescente em
, portanto
é decrescente para
.
Como ambas as hipóteses do Teste de Leibniz estão satisfeitas (
), a série alternada
converge.
Passo 4
Juntando os resultados: a série converge (por Leibniz) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge pelo Teste da Integral). Essa combinação caracteriza convergência condicional.
Um comentário encorajador: a ideia-chave para a prova foi reconhecer que os módulos decrescem e tendem a zero (o que garante convergência alternada), enquanto a presença do fator
não é suficiente para tornar a série dos módulos comparável a uma p-série convergente — a integral mostrou a divergência absoluta.
Resposta
Convergente condicionalmente.