Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pergunta se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações que temos imediatamente:
Informações que temos imediatamente:
- O termo geral (com sinal alternado) é
com . -
para todo .
As perguntas a responder são: (i) a série converge? (ii) converge absolutamente (isto é,converge) ou só condicionalmente?
Passo 2
Verificar a condição necessária para aplicar o teste da série alternada (teste de Leibniz): precisamos que
quando
e que
seja decrescente (pelo menos a partir de algum índice). Primeiro o limite:
porque
quando
, e o recíproco de algo que tende a infinito tende a zero. Isso garante a condição
.
Passo 3
Mostrar que
é decrescente para
. Considere a função contínua
Derivando,
Como o denominador é positivo para
, tem-se
para todo
. Logo
é estritamente decrescente em
e, em particular, a sequência
é decrescente. Portanto as hipóteses do teste de Leibniz (série alternada) estão satisfeitas:
.
Aplicando o teste de Leibniz concluímos que a série alternada
converge.
Passo 4
Agora testar convergência absoluta: estudar a série dos valores absolutos
Usaremos o teste de condensação de Cauchy (útil para termos positivos decrescentes): para
decrescente e positivo,
converge se, e somente se,
converge. Aqui
, então
Observe que
. Assim
Mas
quando
(os fatores exponenciais dominam o fator
), logo os termos
não tendem a zero — pelo contrário, crescem sem limite. Se os termos de uma série não tendem a zero, a série necessariamente diverge. Portanto a série condensada diverge, o que pelo teste de Cauchy implica que
diverge. Em outras palavras, a série não é absolutamente convergente.
Passo 5
Resumo das conclusões: a série original converge (por teste alternado de Leibniz) mas a série dos módulos diverge (por condensação de Cauchy). Logo a convergência é não absoluta, isto é, condicional.
Resposta
Condicionalmente convergente.