Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{\ln (n+1)}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\ln(n+1)}
e pergunta se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações que temos imediatamente:
  • O termo geral (com sinal alternado) é (-1)^{n+1}a_n com a_n=\dfrac{1}{\ln(n+1)}.
  • a_n>0 para todo n\ge1.
    As perguntas a responder são: (i) a série converge? (ii) converge absolutamente (isto é, \sum a_n converge) ou só condicionalmente?

Passo 2

Verificar a condição necessária para aplicar o teste da série alternada (teste de Leibniz): precisamos que a_n\to0 quando n\to\infty e que a_n seja decrescente (pelo menos a partir de algum índice). Primeiro o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}=0,
porque \ln(n+1)\to\infty quando n\to\infty, e o recíproco de algo que tende a infinito tende a zero. Isso garante a condição \,a_n\to0.

Passo 3

Mostrar que a_n=\dfrac{1}{\ln(n+1)} é decrescente para n\ge1. Considere a função contínua
f(x)=\frac{1}{\ln(x+1)},\qquad x\ge1.
Derivando,
f'(x)=-\frac{1}{(x+1)\,\ln^2(x+1)}.
Como o denominador é positivo para x\ge1, tem-se f'(x)<0 para todo x\ge1. Logo f é estritamente decrescente em [1,\infty) e, em particular, a sequência a_n=f(n) é decrescente. Portanto as hipóteses do teste de Leibniz (série alternada) estão satisfeitas: a_n\searrow0.
Aplicando o teste de Leibniz concluímos que a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\ln(n+1)}
converge.

Passo 4

Agora testar convergência absoluta: estudar a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}.
Usaremos o teste de condensação de Cauchy (útil para termos positivos decrescentes): para a_n decrescente e positivo, \sum a_n converge se, e somente se,
\sum_{k=1}^{\infty}2^{k}a_{2^{k}}
converge. Aqui a_n=\dfrac{1}{\ln(n+1)}, então
2^{k}a_{2^{k}}=\frac{2^{k}}{\ln(2^{k}+1)}.
Observe que \ln(2^{k}+1)\le \ln(2^{k+1})=(k+1)\ln 2. Assim
\frac{2^{k}}{\ln(2^{k}+1)}\ge \frac{2^{k}}{(k+1)\ln 2}.
Mas \dfrac{2^{k}}{(k+1)\ln 2}\to\infty quando k\to\infty (os fatores exponenciais dominam o fator k+1), logo os termos 2^{k}a_{2^{k}} não tendem a zero — pelo contrário, crescem sem limite. Se os termos de uma série não tendem a zero, a série necessariamente diverge. Portanto a série condensada diverge, o que pelo teste de Cauchy implica que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}
diverge. Em outras palavras, a série não é absolutamente convergente.

Passo 5

Resumo das conclusões: a série original converge (por teste alternado de Leibniz) mas a série dos módulos diverge (por condensação de Cauchy). Logo a convergência é não absoluta, isto é, condicional.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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