Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}+3}{(2 n-5)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}+3}{(2n-5)^{2}}
dizendo se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas:
  • O termo geral é a_n = (-1)^{n}\dfrac{n^{2}+3}{(2n-5)^{2}}.
  • A série é uma série infinita com n variando de 1 até +\infty.
O que foi pedido: identificar uma entre as três possibilidades (absoluta, condicional ou divergente).

Passo 2

Primeiro vamos analisar o comportamento do módulo do termo geral, porque isso já dá muita informação. Considere
b_n=\left|a_n\right|=\frac{n^{2}+3}{(2n-5)^{2}}.
Calcular o limite de b_n quando n\to\infty. Para isso divido numerador e denominador por n^{2}:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1+\dfrac{3}{n^{2}}}{\left(2-\dfrac{5}{n}\right)^{2}}.
Como \dfrac{3}{n^{2}}\to0 e \dfrac{5}{n}\to0, o limite fica
\lim_{n\to\infty} b_n = \frac{1+0}{(2-0)^{2}}=\frac{1}{4}.

Passo 3

Interpretação prática desse limite: \lim_{n\to\infty} b_n=\dfrac{1}{4}\neq0. Um fato básico sobre séries é: se uma série \sum c_n converge então necessariamente c_n\to0. Aplicando isso à série das modulações, se a série \sum_{n=1}^\infty b_n (a série dos valores absolutos) convergisse então precisaríamos ter b_n\to0. Mas já vimos que b_n\to \dfrac{1}{4}\neq0. Portanto a série dos valores absolutos diverge. Conclusão parcial: a série NÃO é absolutamente convergente.

Passo 4

Agora verificar se a série original pode ser condicionalmente convergente (isto é, convergir apesar de os valores absolutos divergirem). Um passo rápido e decisivo é olhar o limite do termo geral a_n. Escrevendo
a_n = (-1)^{n} b_n,
já sabemos \lim_{n\to\infty} b_n = \dfrac{1}{4}. Então a_n oscila entre valores próximos de +\dfrac{1}{4} e -\dfrac{1}{4} quando n aumenta; em particular a_n não tende a 0. Pelo teste necessário para convergência de séries (se \sum a_n converge então a_n\to0), se a_n\not\to0 a série \sum a_n diverge. Portanto a série original também diverge.

Passo 5

Resumo didático e comparação com exemplos: aqui a falha de convergência é imediata porque os termos não tendem a zero (são assintoticamente \pm 1/4). Para contraste, na série alternada clássica \sum (-1)^n\frac{1}{n} os termos vão a zero e a série converge (condicionalmente). No nosso caso os termos não vão a zero, logo não há convergência, nem condicional nem absoluta.

Resposta

Divergente

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