Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
dizendo se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas:
- O termo geral é
. - A série é uma série infinita com
variando de até .
O que foi pedido: identificar uma entre as três possibilidades (absoluta, condicional ou divergente).
Passo 2
Primeiro vamos analisar o comportamento do módulo do termo geral, porque isso já dá muita informação. Considere
Calcular o limite de
quando
. Para isso divido numerador e denominador por
:
Como
e
, o limite fica
Passo 3
Interpretação prática desse limite:
. Um fato básico sobre séries é: se uma série
converge então necessariamente
. Aplicando isso à série das modulações, se a série
(a série dos valores absolutos) convergisse então precisaríamos ter
. Mas já vimos que
. Portanto a série dos valores absolutos diverge. Conclusão parcial: a série NÃO é absolutamente convergente.
Passo 4
Agora verificar se a série original pode ser condicionalmente convergente (isto é, convergir apesar de os valores absolutos divergirem). Um passo rápido e decisivo é olhar o limite do termo geral
. Escrevendo
já sabemos
. Então
oscila entre valores próximos de
e
quando
aumenta; em particular
não tende a
. Pelo teste necessário para convergência de séries (se
converge então
), se
a série
diverge. Portanto a série original também diverge.
Passo 5
Resumo didático e comparação com exemplos: aqui a falha de convergência é imediata porque os termos não tendem a zero (são assintoticamente
). Para contraste, na série alternada clássica
os termos vão a zero e a série converge (condicionalmente). No nosso caso os termos não vão a zero, logo não há convergência, nem condicional nem absoluta.
Resposta
Divergente