Determine a periodicidade dos seguintes sinais, e se for periódico calcular o período:
x(t)=\sin \frac{2 \pi}{3} t

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=\sin\left(\frac{2\pi}{3}\,t\right)
e pede duas coisas: determinar se o sinal é periódico e, se for periódico, calcular o período (o menor período positivo).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma função seno com argumento \dfrac{2\pi}{3}\,t.
  • Não foram dadas restrições adicionais sobre t; assumir t como tempo real ( t\in\mathbb{R}).

Passo 2

Condição geral de periodicidade para senóides no tempo contínuo.
Explicação do conceito (passo a passo, bem devagar):
  • Uma função x(t) é periódica se existe um número real positivo T>0 tal que x(t+T)=x(t)\quad\text{para todo }t.
  • Para a função x(t)=\sin(\omega t), usar a identidade trigonométrica básica \sin(\theta+2\pi n)=\sin(\theta)\quad\text{para qualquer inteiro }n,porque a função seno tem período 2\pi em seu argumento angular.
  • Aplicando isso a \sin(\omega t), queremos um T>0 tal que \sin(\omega (t+T))=\sin(\omega t).Usando a identidade acima, isso acontece sempre que \omega T=2\pi n para algum n\in\mathbb{Z}.
  • Assim o conjunto de períodos possíveis é T_n=\frac{2\pi n}{\omega},\qquad n\in\mathbb{Z},\\ n\neq0.
  • O menor período positivo (período fundamental) corresponde a escolher n=1, dando T_0=\frac{2\pi}{\omega}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • \omega é a frequência angular (radianos por unidade de t).
  • T é o período (unidade de t), o intervalo de tempo após o qual a função se repete.
  • n é um inteiro que gera todos os múltiplos inteiros do período fundamental.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso dado.
Identificar a frequência angular \omega do sinal:
\omega=\frac{2\pi}{3}.
Usar a expressão do período fundamental \displaystyle T_0=\frac{2\pi}{\omega} e substituir \omega:
T_0=\frac{2\pi}{\dfrac{2\pi}{3}}.
Fazer a simplificação algébrica (passo a passo):
T_0=\frac{2\pi}{1}\cdot\frac{3}{2\pi}=\frac{2\pi\cdot 3}{2\pi}=3.

Passo 4

Verificação direta (confirmação da periodicidade).
Verificar que x(t+3)=x(t) usando identidades trigonométricas:
x(t+3)=\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}(t+3)\right)=\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}t+\frac{2\pi}{3}\cdot 3\right)=\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}t+2\pi\right).
Como \sin(\theta+2\pi)=\sin\theta, segue que
x(t+3)=\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}t\right)=x(t),
para todo t. Isso confirma que o sinal é periódico e que 3 é um período válido.

Passo 5

Observações finais e intuição.
  • Qualquer múltiplo inteiro positivo de 3, isto é T = 3n com n\in\mathbb{Z}^+, também é um período da função (são múltiplos do período fundamental).
  • O período fundamental é o menor período positivo; neste caso é 3.
  • Intuição rápida: o argumento do seno avança em \frac{2\pi}{3} radianos por unidade de t. Para completar uma volta de 2\pi radianos faltam exatamente 3 unidades de t.

Resposta

Periódico; período fundamental T=3.

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