Determine a periodicidade dos seguintes sinais, e se for periódico calcular o período:
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede duas coisas: determinar se o sinal é periódico e, se for periódico, calcular o período (o menor período positivo).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma função seno com argumento
. - Não foram dadas restrições adicionais sobre
; assumir como tempo real ( ).
Passo 2
Condição geral de periodicidade para senóides no tempo contínuo.
Explicação do conceito (passo a passo, bem devagar):
- Uma função
é periódica se existe um número real positivo tal que - Para a função
, usar a identidade trigonométrica básica porque a função seno tem período em seu argumento angular. - Aplicando isso a
, queremos um tal que Usando a identidade acima, isso acontece sempre que para algum . - Assim o conjunto de períodos possíveis é
- O menor período positivo (período fundamental) corresponde a escolher
, dando
Explicação do que cada símbolo significa:
-
é a frequência angular (radianos por unidade de ). -
é o período (unidade de ), o intervalo de tempo após o qual a função se repete. -
é um inteiro que gera todos os múltiplos inteiros do período fundamental.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso dado.
Identificar a frequência angular
do sinal:
Usar a expressão do período fundamental
e substituir
:
Fazer a simplificação algébrica (passo a passo):
Passo 4
Verificação direta (confirmação da periodicidade).
Verificar que
usando identidades trigonométricas:
Como
, segue que
para todo
. Isso confirma que o sinal é periódico e que
é um período válido.
Passo 5
Observações finais e intuição.
- Qualquer múltiplo inteiro positivo de
, isto é com , também é um período da função (são múltiplos do período fundamental). - O período fundamental é o menor período positivo; neste caso é
. - Intuição rápida: o argumento do seno avança em
radianos por unidade de . Para completar uma volta de radianos faltam exatamente unidades de .
Resposta
Periódico; período fundamental
.