Determine a periodicidade dos seguintes sinais, e se for periódico calcular o período:
x[n]=\cos \frac{1}{4} n

Passo 1

O enunciado dá o sinal discreto
x[n]=\cos\!\left(\tfrac{1}{4}n\right)
onde n é inteiro. A tarefa é decidir se x[n] é periódico e, se for, determinar o período fundamental (menor N>0 inteiro tal que x[n+N]=x[n] para todo n).

Passo 2

Definição precisa de periodicidade em tempo discreto: o sinal x[n] é periódico se existe um inteiro positivo N tal que
x[n+N]=x[n]\quad\text{para todo }n\in\mathbb{Z}.
No caso de x[n]=\cos(\Omega n) (onde escrevo \Omega para a frequência em radianoss por amostra), essa condição vira
\cos\!\big(\Omega(n+N)\big)=\cos\!\big(\Omega n\big)\quad\text{para todo }n.
Para que \cos(\theta+\varphi)=\cos\theta valha para todo \theta é necessário e suficiente que \varphi=2\pi m para algum inteiro m. (Rápida justificativa: expandindo \cos(\theta+\varphi)=\cos\theta e agrupando termos obtém-se um polinômio em \cos\theta e \sin\theta que só pode ser nulo para todo \theta se \cos\varphi=1 e \sin\varphi=0, i.e. \varphi=2\pi m.)

Passo 3

Aplicando o resultado ao nosso caso, com \Omega=\tfrac{1}{4}, a condição de periodicidade fica
\Omega N = 2\pi m,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Isolando N,
N=\frac{2\pi m}{\Omega}=\frac{2\pi m}{1/4}=8\pi m.
Aqui N precisa ser um inteiro positivo. As variáveis estão assim definidas:
  • \Omega=\tfrac{1}{4} é a frequência em radianos por amostra (extraída do enunciado),
  • m é um inteiro (número de períodos inteiros de 2\pi),
  • N é o número de amostras que corresponderia ao período.

Passo 4

Analisando a expressão N=8\pi m: para algum inteiro m\neq 0 isso exigiria que 8\pi m fosse um número inteiro. Mas \pi é um número irracional, logo 8\pi m também é irracional para qualquer m\neq 0. Portanto não existe m\neq 0 tal que N seja inteiro. O caso m=0 N=0, que não é um período útil (queremos N>0). Conclusão: não existe inteiro N>0 satisfazendo a condição, logo x[n] NÃO é periódico.

Passo 5

Para fixar a ideia: um critério prático é verificar se \dfrac{\Omega}{2\pi} é um número racional. Se for racional, \dfrac{\Omega}{2\pi}=\dfrac{p}{q} com inteiros coprimos, o período fundamental é N=q. No nosso caso
\frac{\Omega}{2\pi}=\frac{1/4}{2\pi}=\frac{1}{8\pi},
que é irracional por conter \pi; portanto não é racional e o sinal não é periódico. Exemplo contrastante: \cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}n\big) tem \Omega/(2\pi)=1/8 (racional) e período fundamental N=8.

Passo 6

Resumo final e ânimo: a condição matemática ficou clara e não existe N\in\mathbb{Z}^+ que satisfaça \tfrac{1}{4}N=2\pi m. Assim, apesar de a função cos parecer “regular”, no domínio discreto o passo angular \tfrac{1}{4} gera um avanço que nunca fecha exatamente um número inteiro de ciclos após um número inteiro de amostras. Força nos estudos — esse tipo de verificação é rápido na prova assim que lembrar do critério racional/irracional.

Resposta

Não é periódico.

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