Determine a periodicidade dos seguintes sinais, e se for periódico calcular o período:
Passo 1
O enunciado dá o sinal discreto
onde
é inteiro. A tarefa é decidir se
é periódico e, se for, determinar o período fundamental (menor
inteiro tal que
para todo
).
Passo 2
Definição precisa de periodicidade em tempo discreto: o sinal
é periódico se existe um inteiro positivo
tal que
No caso de
(onde escrevo
para a frequência em radianoss por amostra), essa condição vira
Para que
valha para todo
é necessário e suficiente que
para algum inteiro
. (Rápida justificativa: expandindo
e agrupando termos obtém-se um polinômio em
e
que só pode ser nulo para todo
se
e
, i.e.
.)
Passo 3
Aplicando o resultado ao nosso caso, com
, a condição de periodicidade fica
Isolando
,
Aqui
precisa ser um inteiro positivo. As variáveis estão assim definidas:
-
é a frequência em radianos por amostra (extraída do enunciado), -
é um inteiro (número de períodos inteiros de ), -
é o número de amostras que corresponderia ao período.
Passo 4
Analisando a expressão
: para algum inteiro
isso exigiria que
fosse um número inteiro. Mas
é um número irracional, logo
também é irracional para qualquer
. Portanto não existe
tal que
seja inteiro. O caso
dá
, que não é um período útil (queremos
). Conclusão: não existe inteiro
satisfazendo a condição, logo
NÃO é periódico.
Passo 5
Para fixar a ideia: um critério prático é verificar se
é um número racional. Se for racional,
com inteiros coprimos, o período fundamental é
. No nosso caso
que é irracional por conter
; portanto não é racional e o sinal não é periódico. Exemplo contrastante:
tem
(racional) e período fundamental
.
Passo 6
Resumo final e ânimo: a condição matemática ficou clara e não existe
que satisfaça
. Assim, apesar de a função cos parecer “regular”, no domínio discreto o passo angular
gera um avanço que nunca fecha exatamente um número inteiro de ciclos após um número inteiro de amostras. Força nos estudos — esse tipo de verificação é rápido na prova assim que lembrar do critério racional/irracional.
Resposta
Não é periódico.