Determine a periodicidade dos seguintes sinais, e se for periódico calcular o período:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sinal
é periódico e, se for periódico, calcular o período. As informações que temos são:
- O sinal é a soma de duas funções:
e . - Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Vou lembrar bem direitinho o que significa “ser periódico” (aquela definição que sempre cai na prova). Uma função
é periódica se existe um número real positivo
tal que
Esse
é chamado de período (qualquer múltiplo inteiro de
também é período). Para sinais do tipo
ou
a fórmula do período é simples: se a função tem argumento
, então
porque
.
Passo 3
Calculemos os períodos das componentes separadamente, usando a fórmula acima.
- Para
o parâmetro angular é . Logo o período é
- Para
o parâmetro angular é . Logo o período é
Passo 4
Agora a regra para soma de periódicas: a soma de duas funções periódicas
e
com períodos
e
será periódica se, e somente se, existir um período comum
que seja múltiplo inteiro de ambos, isto é, existirem inteiros positivos
tais que
Isso implica
ou seja, a razão
precisa ser um número racional. Se essa razão for irracional, não há inteiros
que satisfaçam a igualdade e, portanto, não existe período comum (além de
, que não conta).
Passo 5
Calculemos a razão entre os períodos que encontramos:
Portanto a razão é
.
Passo 6
Precisamos saber se
é racional ou irracional. Um argumento clássico (resumido) mostra que
é irracional: suponha, para contradizer, que
com inteiros
sem fator comum. Então
, o que implica que
é par e então
é par. Escrevendo
obtemos
e portanto
, logo
também é par. Isso contradiz a hipótese de que
e
não têm fator comum. Logo
não pode ser escrito como razão de inteiros; ou seja,
é irracional.
Passo 7
Como
é irracional, não existem inteiros
com
. Logo não existe período positivo comum às duas componentes. Portanto a soma
não é periódica.
Passo 8
Para fixar a intuição: se a razão entre períodos fosse racional (por exemplo, para
temos
e
e
que é racional), aí sim existe período comum (neste exemplo o período comum mínimo é
). No nosso caso, a presença de
estraga essa razão tornando-a irracional — por isso não tem período comum.