Determine a periodicidade dos seguintes sinais, e se for periódico calcular o período:
x(t)=\cos t+\sin \sqrt{2} t

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sinal \,x(t)=\cos t+\sin \sqrt{2}\,t é periódico e, se for periódico, calcular o período. As informações que temos são:
  • O sinal é a soma de duas funções: \cos t e \sin \sqrt{2}\,t.
  • Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Vou lembrar bem direitinho o que significa “ser periódico” (aquela definição que sempre cai na prova). Uma função f(t) é periódica se existe um número real positivo T>0 tal que
f(t+T)=f(t)\quad\text{para todo }t.
Esse T é chamado de período (qualquer múltiplo inteiro de T também é período). Para sinais do tipo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t) a fórmula do período é simples: se a função tem argumento \omega t, então
T=\frac{2\pi}{\omega},
porque \cos(\omega(t+T))=\cos(\omega t+\omega T)=\cos(\omega t+2\pi)=\cos(\omega t).

Passo 3

Calculemos os períodos das componentes separadamente, usando a fórmula acima.
  • Para \cos t o parâmetro angular é \omega_1=1. Logo o período é
T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\frac{2\pi}{1}=2\pi.
  • Para \sin \sqrt{2}\,t o parâmetro angular é \omega_2=\sqrt{2}. Logo o período é
T_2=\frac{2\pi}{\omega_2}=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,\pi.

Passo 4

Agora a regra para soma de periódicas: a soma de duas funções periódicas f_1 e f_2 com períodos T_1 e T_2 será periódica se, e somente se, existir um período comum T>0 que seja múltiplo inteiro de ambos, isto é, existirem inteiros positivos m,n tais que
T=mT_1=nT_2.
Isso implica
\frac{T_1}{T_2}=\frac{n}{m},
ou seja, a razão \dfrac{T_1}{T_2} precisa ser um número racional. Se essa razão for irracional, não há inteiros m,n que satisfaçam a igualdade e, portanto, não existe período comum (além de T=0, que não conta).

Passo 5

Calculemos a razão entre os períodos que encontramos:
\frac{T_1}{T_2}=\frac{2\pi}{\sqrt{2}\,\pi}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Portanto a razão é \sqrt{2}.

Passo 6

Precisamos saber se \sqrt{2} é racional ou irracional. Um argumento clássico (resumido) mostra que \sqrt{2} é irracional: suponha, para contradizer, que \sqrt{2}=\dfrac{p}{q} com inteiros p,q sem fator comum. Então 2q^2=p^2, o que implica que p^2 é par e então p é par. Escrevendo p=2k obtemos 2q^2=4k^2 e portanto q^2=2k^2, logo q também é par. Isso contradiz a hipótese de que p e q não têm fator comum. Logo \sqrt{2} não pode ser escrito como razão de inteiros; ou seja, \sqrt{2} é irracional.

Passo 7

Como \dfrac{T_1}{T_2}=\sqrt{2} é irracional, não existem inteiros m,n com \,mT_1=nT_2. Logo não existe período positivo comum às duas componentes. Portanto a soma
x(t)=\cos t+\sin \sqrt{2}\,t
não é periódica.

Passo 8

Para fixar a intuição: se a razão entre períodos fosse racional (por exemplo, para \cos t+\sin 2t temos T_1=2\pi e T_2=\pi e \dfrac{T_1}{T_2}=2 que é racional), aí sim existe período comum (neste exemplo o período comum mínimo é 2\pi). No nosso caso, a presença de \sqrt{2} estraga essa razão tornando-a irracional — por isso não tem período comum.

Resposta

x(t)=\cos t+\sin \sqrt{2}\,t não é periódico.

Exercícios relacionados