Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=3 \sin \left(\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o período e esboçar o gráfico da função
f(x) = 3 \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
O conteúdo aqui é transformações de ondas senoidais: amplitude e período de funções do tipo A\sin(Bx).

Passo 2

Recordando a teoria, uma função A\sin(Bx) tem amplitude |A| e período dado por
T = \frac{2\pi}{|B|}.
No nosso caso, a variável aparece como \sin(\tfrac{x}{2}), ou seja, B = \tfrac12, e a amplitude é |3| = 3.

Passo 3

Aplicando a fórmula do período:
T = \frac{2\pi}{\tfrac12} = 2\pi \times 2 = 4\pi.
Portanto, o período de f é 4\pi.

Passo 4

A amplitude de f é 3, logo a onda varia entre y=3 e y=-3. A linha média é y=0.

Passo 5

Para esboçar um período típico de 0 a 4\pi, usamos os pontos principais da senóide:
x=0: \\ f(0)=3\sin(0)=0.
x=\pi: \\ f(\pi)=3\sin(\tfrac{\pi}{2})=3.
x=2\pi: \\ f(2\pi)=3\sin(\pi)=0.
x=3\pi: \\ f(3\pi)=3\sin(\tfrac{3\pi}{2})=-3.
x=4\pi: \\ f(4\pi)=3\sin(2\pi)=0.

Passo 6

Ligando esses pontos suavemente em formato de onda, obtemos um ciclo completo de seno esticado:
– Começa em (0,0), sobe à máxima altura (\pi,3), desce cruzando (2\pi,0), alcança o mínimo (3\pi,-3) e retorna a (4\pi,0).
Este padrão se repete a cada intervalo de comprimento 4\pi.

Resposta

O período de f(x)=3\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) é 4\pi. O gráfico é uma senoide com amplitude 3, linha média em y=0, e completa um ciclo de 0 a 4\pi passando pelos pontos (0,0), (\pi,3), (2\pi,0), (3\pi,-3) e (4\pi,0).

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