Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=4 \cos \left(\frac{x}{8}+3\right)

Passo 1

O enunciado pede o período e o esboço do gráfico de
f(x)=4\cos\!\Bigl(\frac{x}{8}+3\Bigr).
Aqui vamos usar conceitos de função cosseno: amplitude, período e deslocamento de fase.

Passo 2

A amplitude de f é o coeficiente que multiplica o cosseno, isto é, \bigl|4\bigr|=4.
Para encontrar o período, identificamos o fator b em \cos(bx+\varphi). Aqui
b=\frac{1}{8}
e o período padrão de \cos(bx) é
T=\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{1/8}=16\pi.

Passo 3

Para achar o deslocamento de fase, escrevemos o argumento numa forma \frac{1}{8}(x - x_0). Note que
\frac{x}{8}+3 = \frac{1}{8}\bigl(x +24\bigr),
pois 3 = \tfrac{24}{8}. Logo
f(x)=4\cos\!\Bigl(\tfrac{1}{8}(x+24)\Bigr),
o que equivale a deslocar a cossenoide padrão \cos(x/8) em 24 unidades para a esquerda.

Passo 4

Escolhemos cinco pontos igualmente espaçados em um período de comprimento 16\pi. Começando em x=-24, temos incremento de \tfrac{T}{4}=4\pi:
\begin{array}{c|ccccc} x & -24 & -24+4\pi & -24+8\pi & -24+12\pi & -24+16\pi\\hline f(x)& 4\cos(0)=4 & 4\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 & 4\cos(\pi)=-4 & 4\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0 & 4\cos(2\pi)=4 \end{array}

Passo 5

Para esboçar, marcamos no eixo x os pontos -24, -24+4\pi, -24+8\pi, -24+12\pi, -24+16\pi
com os respectivos valores de f(x) dados acima, traçamos a curva suave de cosseno com amplitude 4, atingindo máximos em y=4, mínimos em y=-4 e zeros nos intermediários.

Resposta

Período: 16\pi.
Esboço: é uma cossenoide de amplitude 4, período 16\pi, deslocada 24 unidades para a esquerda em relação a 4\cos(x/8), atingindo máximo y=4 em x=-24, zero em x=-24+4\pi, mínimo -4 em x=-24+8\pi, e assim por diante.

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