Determine o período, a paridade, a imagem, o domínio e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede análise da função
querendo-se determinar o período, a paridade, o domínio, a imagem e esboçar o gráfico em um período completo.
Conteúdo: funções trigonométricas periódicas, em particular a função secante, suas propriedades de domínio (raízes do cosseno), período fundamental, paridade e intervalo de valores.
Conteúdo: funções trigonométricas periódicas, em particular a função secante, suas propriedades de domínio (raízes do cosseno), período fundamental, paridade e intervalo de valores.
Passo 2
Determinar o domínio geral de
. Como
, precisamos ter
. Logo
Passo 3
Encontrar o período de
. O cosseno tem período
, e portanto
implica
Logo o período fundamental de
é
.
Passo 4
Verificar a paridade de
. Sabemos que
é função par, isto é,
. Então
e
Portanto
é função par.
Passo 5
Determinar a imagem (alcance, conjunto de valores) de
. Como
satisfaz
, tem-se
Logo
Passo 6
Esboçar o gráfico de
em um período completo.
Escolhemos o intervalo , onde aparecem as duas assíntotas em
Escolhemos o intervalo
Dentro dele o domínio restringe-se a três intervalos abertos:
,
e
.
- Em
: logo . Tem um mínimo em com , e ao se aproximar de . - Em
e em : logo . Em cada um desses ramos ao chegar nas assíntotas e atinge .
Comoé par o ramo de é simétrico ao de .
Resposta
Período:
.
Paridade: função par ( ).
Domínio: .
Imagem: .
Gráfico em um período completo ( ) com assíntotas verticais em
, ramo central positivo mínimo
, e dois ramos laterais negativos que tendem a
nas assíntotas e valem
em
.
Paridade: função par (
Domínio:
Imagem:
Gráfico em um período completo (