Determine o período, a paridade, a imagem, o domínio e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=2 sec x

Passo 1

O enunciado pede análise da função
f(x)=2sec x
querendo-se determinar o período, a paridade, o domínio, a imagem e esboçar o gráfico em um período completo.
Conteúdo: funções trigonométricas periódicas, em particular a função secante, suas propriedades de domínio (raízes do cosseno), período fundamental, paridade e intervalo de valores.

Passo 2

Determinar o domínio geral de f. Como sec x=1/cos x, precisamos ter cos xneq0. Logo
Dom(f)=lxinRmid cos xneq0r =lxinRmid xneqtfracpi2+kpi, kinZr

Passo 3

Encontrar o período de f. O cosseno tem período 2pi, e portanto
sec(x+2pi)=sec x
implica
f(x+2pi)=2sec(x+2pi)=2sec x=f(x)
Logo o período fundamental de f é 2pi.

Passo 4

Verificar a paridade de f. Sabemos que cos é função par, isto é, cos(-x)=cos x. Então
sec(-x)=1cos(-x)=1cos x=sec x
e
f(-x)=2sec(-x)=2sec x=f(x)
Portanto f é função par.

Passo 5

Determinar a imagem (alcance, conjunto de valores) de f. Como sec x satisfaz |sec x|>=1, tem-se
|sec x|>=1Longrightarrow|2sec x|>=2
Logo
Im(f)=(-infty,-2];cup;[2,infty)

Passo 6

Esboçar o gráfico de f em um período completo.
Escolhemos o intervalo -pi<x<pi, onde aparecem as duas assíntotas em
x=-tfracpi2e x=+tfracpi2
Dentro dele o domínio restringe-se a três intervalos abertos:
-pi<x<-tfracpi2,
-tfracpi2<x<tfracpi2 e
tfracpi2<x<pi.
  • Em l(-tfracpi2,tfracpi2r): cos x>0 logo f>0. Tem um mínimo em x=0 com f(0)=2, e f(x)to+infty ao se aproximar de xtopmtfracpi2.
  • Em l(-pi,-tfracpi2r) e em l(tfracpi2,pir): cos x<0 logo f<0. Em cada um desses ramos f(x)to-infty ao chegar nas assíntotas e atinge f(pmpi)=-2.
    Como f é par o ramo de (tfracpi2,pi) é simétrico ao de (-pi,-tfracpi2).

Resposta

Período: 2pi.
Paridade: função par ( f(-x)=f(x)).
Domínio: xinRmid xneqtfracpi2+kpi, kinZ.
Imagem: (-infty,-2]cup[2,infty).
Gráfico em um período completo ( -pi<x<pi) com assíntotas verticais em x=pmtfracpi2, ramo central positivo mínimo f(0)=2, e dois ramos laterais negativos que tendem a -infty nas assíntotas e valem -2 em x=pmpi.

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