Determine o período, a paridade, a imagem e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=-1+2 cos (x-pi3)

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x) = -1 + 2cosl(x - tfracpi3r),
que encontremos o período, a paridade, a imagem e esbocemos o gráfico num intervalo de comprimento igual a um período. Vamos usar a propriedade de periodicidade e as transformações de uma cossenoide (amplitude, deslocamento horizontal e vertical).

Passo 2

Como cos(x) é periódica de período 2pi, qualquer deslocamento horizontal não altera o período. Logo
Período de f = 2pi í

Passo 3

Para verificar paridade, comparamos f(-x) com f(x) e com -f(x).
f(-x) = -1 + 2cosl(-x - tfracpi3r) = -1 + 2cosl(x + tfracpi3r),
que não coincide nem com -1 + 2cos(x-tfracpi3) nem com -(-1 + 2cos(x-tfracpi3))).
Portanto
Paridade: nem par nem ímpar í

Passo 4

A amplitude é 2 e o deslocamento vertical é -1. Assim a imagem de f é
[-1-2,,-1+2] = [-3,,1]

Passo 5

Escolhemos um período completo no intervalo l[tfracpi3,,tfracpi3+2pir]=l[tfracpi3,,tfrac7pi3r]. Os pontos notáveis são:
em x=tfracpi3, cos(0)=1 Rightarrow f=1;
em x=2pi/3, cos(pi/3)=tfrac12 Rightarrow f=0;
em x=5pi/6, cos(pi/2)=0 Rightarrow f=-1;
em x=4pi/3, cos(pi)=-1 Rightarrow f=-3;
em x=11pi/6, cos(3pi/2)=0 Rightarrow f=-1;
em x=7pi/3, cos(2pi)=1 Rightarrow f=1.
Ligando esses pontos por uma curva cossenoidal, obtemos o gráfico de f num período completo.

Resposta

Período: 2pi
Paridade: nem par nem ímpar
Imagem: [-3,,1]
Gráfico: cossenoide de amplitude 2, deslocada para a direita em tfracpi3 e para baixo em 1, conforme esboço no passo 5.

Exercícios relacionados