Determine o período, a paridade, a imagem, o domínio e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=1+sec (x2)

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=1+sec!l(tfracx2r)
determinar o período, a paridade, o domínio, a imagem e esboçar o gráfico num período completo. Vamos usar propriedades de sec(u)=1/cos(u): seu período é 2pi, é função par e seu domínio exclui pontos onde cos(u)=0.

Passo 2

Para achar o período T, escrevemos u=x/2. Como sec(u) tem período 2pi, buscamos T tal que
x+T2 = x2 + 2pi
isto é,
T2=2pi Longrightarrow T=4pi

Passo 3

Verificamos a paridade:
f(-x) =1+sec!l(-tfracx2r) =1+sec!l(tfracx2r) =f(x),
logo f é função par.

Passo 4

O domínio de sec(u) é umid cos(u)neq0. Aqui u=x/2, então
cos!l(tfracx2r)neq0 Long<=ftrightarrow tfracx2neq pi2+kpi Long<=ftrightarrow x neq (2k+1)pi,;kinZ
Portanto
Dom(f) =xinRmid xneq(2k+1)pi,;kinZ

Passo 5

A imagem de sec(u) é
(-infty,-1];cup;[1,infty)
Logo, como f(x)=1+sec(x/2), somamos 1 a cada valor e obtemos
Im(f) =(-infty,0];cup;[2,infty)

Passo 6

Esboço do gráfico em um período completo, por exemplo em [-2pi,2pi]:
  • Há assíntotas verticais onde cos(x/2)=0, isto é em x=pmpi.
  • Em (-pi,pi) temos cos(x/2)>0, então sec(x/2)>0 e f(x)>=2, com mínimo f(0)=2.
  • Em (-2pi,-pi) e (pi,2pi) temos cos(x/2)<0, logo sec(x/2)<0 e f(x)<=0, aproximando-se de -infty junto às assíntotas.
  • Nos extremos x=pm2pi, sec(pmpi)=-1 e portanto f(pm2pi)=0.
Com isso, a curva oscila entre +inftyto2to+infty no trecho central e entre 0to-inftyto0 nos trechos laterais, repetindo-se a cada 4pi.

Resposta

Período: 4pi
Paridade: par
Domínio: xinRmid xneq(2k+1)pi,;kinZ
Imagem: (-infty,0];cup;[2,infty)
Gráfico no período [-2pi,2pi]:
assíntotas verticais em x=pmpi, zero em x=pm2pi, mínimo f(0)=2, tal como descrito no passo anterior.

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