Determine o período, a paridade, a imagem e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=1+sin (x2)

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=1+sinl(tfracx2r), que a gente determine seu período, sua paridade, sua imagem e faça o esboço do gráfico em um período completo. O conteúdo que vamos usar é: definição de período de uma função sin(omega x), critérios de paridade (função par, ímpar ou nenhuma) e como obter a imagem de uma soma de constante com uma função limitada.

Passo 2

Para achar o período de sinl(tfracx2r) usamos que a função sin(theta) tem período 2pi. Aqui theta=tfracx2, então queremos tfracx+T2 = tfracx2 + 2pi. Isso dá
x+T2 - x2 = 2pi Longrightarrow T2 = 2pi Longrightarrow T = 4pi

Passo 3

Para checar paridade, vemos
f(-x) = 1 + sin!l(-tfracx2r) = 1 - sin!l(tfracx2r)
Isso não é igual a f(x)=1+sin(tfracx2) (logo não é par) nem igual a -f(x) (logo não é ímpar). Concluímos que f não é nem par nem ímpar.

Passo 4

Como sinl(tfracx2r) varia em [-1,1], a soma com 1 desloca essa variação para
1 + [-1,1] = [0,2]
Logo a imagem de f é o intervalo [0,2].

Passo 5

Um período completo de f está em, por exemplo, [0,4pi]. Pontos-chave:
;f(0)=1,;f(pi)=2,;f(2pi)=1,;f(3pi)=0,;f(4pi)=1.
Entre esses valores a curva descreve uma onda senoidal com amplitude 1 e deslocada para cima em 1.

Resposta

Período: 4pi
Paridade: nenhuma (nem par nem ímpar)
Imagem: [0,2]
Gráfico em um período [0,4pi]:
em x=0, f(0)=1; cresce até x=pi, f(pi)=2; decresce até x=2pi, f(2pi)=1; continua decrescendo até x=3pi, f(3pi)=0; e retorna em x=4pi, f(4pi)=1, formando uma ondulação senoidal de amplitude 1 e deslocamento vertical +1.

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