Determine o período, a paridade, a imagem e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=2+cos x

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=2+cos x,
que a gente determine: período, paridade, imagem (intervalo de valores) e o esboço do gráfico restrito a um período completo.
Conteúdos necessários: periodicidade e paridade de cos x, como obter a imagem somando uma constante, e esboço de um cosseno deslocado verticalmente.

Passo 2

Como cos x tem período 2pi, qualquer soma de cos x com constante também terá período
T=2pi

Passo 3

Verificamos paridade:
f(-x)=2+cos(-x)=2+cos x=f(x),
logo f é uma função par.

Passo 4

A imagem de cos x é [-1,1]. Somando 2 a cada valor, obtemos
Im(f)=[,2-1,;2+1,]=[,1,3,]

Passo 5

Para esboçar f em um período, escolhemos o intervalo [0,2pi]. Os pontos-chave são
  • em x=0: f(0)=2+cos0=3, ponto (0,3);
  • em x=tfracpi2: f(tfracpi2)=2+0=2, ponto l(tfracpi2,2r);
  • em x=pi: f(pi)=2+(-1)=1, ponto (pi,1);
  • em x=tfrac3pi2: f(tfrac3pi2)=2+0=2, ponto l(tfrac3pi2,2r);
  • em x=2pi: f(2pi)=2+cos(2pi)=3, ponto (2pi,3).
    Basta ligar esses pontos por uma curva suave em forma de “S invertido” (gráfico de cosseno) deslocada para cima em 2 unidades.

Resposta

Período: 2pi
Paridade: par
Imagem: [1,3]
Gráfico no intervalo [0,2pi]: curva de cosseno unida aos pontos (0,3), l(tfracpi2,2r), (pi,1), l(tfrac3pi2,2r), (2pi,3).

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