Questão 05 (Variação dos Parâmetros)
Encontre a solução geral da equação diferencial, sabendo que y1=e^x cos (x) e y2=e^x sin (x) são soluções da equação homogênea associada:
y^prime prime-2 y^prime+2 y=e^xcos (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear não homogênea de segunda ordem
y'' - 2y' + 2y = e^xcos(x),
sabendo que as soluções da homogênea associada são
y1=e^xcos(x), y2=e^xsin(x)
O método escolhido é o de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular yp, e depois somamos à solução geral da homogênea.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y1 e y2 e o wronskiano W:
y1'=e^x(cos x-sin x), y2'=e^x(sin x+cos x)
Logo,
W = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^xcos xcdot e^x(sin x+cos x);-;e^xsin xcdot e^x(cos x-sin x) = e^2x(cos^2x+sin^2x)=e^2x ]

Passo 3

Pelas fórmulas de variação dos parâmetros temos
u1' = -f(x),y2W, u2' = f(x),y1W,
onde f(x)=e^x/cos x. Substituindo,
u1' = -e^xcos x;e^xsin xe^2x = -e^2xsin xcos x,e^2x = -tan x,
u2' = e^xcos x;e^xcos xe^2x = e^2xcos xcos x,e^2x =1

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2:
u1 = integral -tan x,dx = lnl|cos xr|, u2 = integral 1,dx = x

Passo 5

A solução particular pelo método é
yp = u1,y1 + u2,y2 = lnl|cos xr|;e^xcos x ;+; x,e^xsin x

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y = C1e^xcos x + C2e^xsin x + e^xcos x,lnl|cos xr| + x,e^xsin x

Resposta

A solução geral é
y = e^xl(C1cos x + C2sin x + cos x,lnlvertcos xrvert + x,sin xr)

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