Determine o período, a paridade, a imagem e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos seu período, sua paridade, sua imagem e desenharmos o gráfico em um período completo. O conteúdo envolvido é função periódica (achar o menor período), paridade (ver se
ou
), intervalo de valores atingidos (imagem) e esboço de gráfico num intervalo de comprimento igual ao período.
Passo 2
A função
tem período
, isto é,
. Mas como
vemos que
também “repete” valores de
. Logo, o menor período de
é
Passo 3
Para testar paridade, calculemos
Como
para todo
,
é uma função par.
Passo 4
Sabendo que
varia em
, a função valor absoluto leva esses valores em
Portanto, a imagem de
é
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico de um período completo, por exemplo em
.
- Em
, temos . - Em
, e então . - Em
, e .
Entre
e
o cosseno desce suavemente de
a
, e entre
e
o cosseno desce de
a
mas o valor absoluto reflete, subindo de
a
. O esboço é uma curva suave com um mínimo em
e máximos em
e
.
Resposta
Período:
Paridade: par
Imagem:
Gráfico em : curva suave unindo
a
e depois a
, refletindo a parte negativa do cosseno.
Paridade: par
Imagem:
Gráfico em