Determine o período, a paridade, a imagem e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=|cos x|

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=|cos x|
determinarmos seu período, sua paridade, sua imagem e desenharmos o gráfico em um período completo. O conteúdo envolvido é função periódica (achar o menor período), paridade (ver se f(-x)=f(x) ou f(-x)=-f(x)), intervalo de valores atingidos (imagem) e esboço de gráfico num intervalo de comprimento igual ao período.

Passo 2

A função cos x tem período 2pi, isto é, cos(x+2pi)=cos x. Mas como
|cos(x+pi)| = |,-cos x,| = |cos x|,
vemos que pi também “repete” valores de f. Logo, o menor período de f(x)=|cos x| é
boxedpi

Passo 3

Para testar paridade, calculemos
f(-x)=|cos(-x)| = |cos x| = f(x)
Como f(-x)=f(x) para todo x, f é uma função par.

Passo 4

Sabendo que cos x varia em [-1,1], a função valor absoluto leva esses valores em
[,0,1,]
Portanto, a imagem de f é
boxed[0,1]

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico de um período completo, por exemplo em [0,pi].
  • Em x=0, temos f(0)=|cos0|=1.
  • Em x=tfracpi2, costfracpi2=0 e então f(tfracpi2)=0.
  • Em x=pi, cospi=-1 e f(pi)=|,-1,|=1.
Entre 0 e tfracpi2 o cosseno desce suavemente de 1 a 0, e entre tfracpi2 e pi o cosseno desce de 0 a -1 mas o valor absoluto reflete, subindo de 0 a 1. O esboço é uma curva suave com um mínimo em (tfracpi2,0) e máximos em (0,1) e (pi,1).

Resposta

Período: pi
Paridade: par
Imagem: [0,1]
Gráfico em [0,pi]: curva suave unindo (0,1) a (tfracpi2,0) e depois a (pi,1), refletindo a parte negativa do cosseno.

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