Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície z=\sin (x y)+x^{2} y no ponto P(\pi, 1,0).
Plano: \left(1+\pi^{2}\right)(x-\pi)+(\pi+\cos \pi)(y-1)+(z-0)=0,
Reta: (x, y, z)=(\pi, 1,0)+t\left(1+\pi^{2}, \pi-1,1\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras no ponto P(\pi,1,0):
  • Determinar o plano tangente à superfície z=\sin(xy)+x^{2}y.
  • Determinar a reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Informações dadas:
\text{o superfície: } z = \sin(xy) + x^{2}y,\qquad P=(\pi,1,0).í

Passo 2

Para encontrar o plano tangente usamos a fórmula da aproximação linear de uma função z=f(x,y) em torno de (x_0,y_0):
z-z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Vou explicar rapidamente o que são e como calcular:
  • A derivada parcial f_x é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo. Pense como se y fosse uma constante.
  • A derivada parcial f_y é a derivada de f em relação a y mantendo x fixo.

Passo 3

Calculemos f_x e f_y para f(x,y)=\sin(xy)+x^{2}y.
Derivando termo a termo:
  • Para \sin(xy), usando cadeia: derivada em relação a x é y\cos(xy) e em relação a y é x\cos(xy).
  • Para x^{2}y, tratando y como constante ao derivar em x 2xy; tratando x como constante ao derivar em y x^{2}.
Logo:
f_x(x,y)=y\cos(xy)+2xy,
f_y(x,y)=x\cos(xy)+x^{2}.

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas em (x_0,y_0)=(\pi,1).
Primeiro note que da imagem trigonométrica \cos(\pi)=-1. Usamos isso porque xy em (\pi,1) vale \pi.
Substituindo:
f_x(\pi,1)=1\cdot\cos(\pi)+2\pi\cdot1 = -1 + 2\pi = 2\pi - 1,
f_y(\pi,1)=\pi\cdot\cos(\pi)+\pi^{2} = -\pi + \pi^{2} = \pi^{2}-\pi.

Passo 5

Escrevemos então o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 com z_0=0:
z-0 = f_x(\pi,1)\,(x-\pi) + f_y(\pi,1)\,(y-1).
Substituindo os valores encontrados obtemos o plano tangente:
z = (2\pi-1)(x-\pi) + (\pi^{2}-\pi)(y-1).
Se preferir colocar em forma implícita, podemos rearranjar:
(2\pi-1)(x-\pi) + (\pi^{2}-\pi)(y-1) - z = 0.

Passo 6

Agora a reta normal. Raciocínio: para uma superfície dada por z=f(x,y) considere a função implícita
F(x,y,z)=z-f(x,y).
O vetor gradiente \nabla F é normal à superfície. Calculando:
\nabla F = \bigl(-f_x,\;-f_y,\;1\bigr).
Avaliado no ponto (\pi,1,0) temos o vetor normal
\mathbf{n} = \bigl(-(2\pi-1),\;-(\pi^{2}-\pi),\;1\bigr) = \bigl(1-2\pi,\;\pi-\pi^{2},\;1\bigr).
A reta normal, em forma paramétrica de vetor, passa por P(\pi,1,0) com direção \mathbf{n}:
(x,y,z) = (\pi,1,0) + t\,(1-2\pi,\;\pi-\pi^{2},\;1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Em coordenadas escalares:
x=\pi + t(1-2\pi),\qquad y=1 + t(\pi-\pi^{2}),\qquad z = 0 + t.

Resposta

Plano: z=(2\pi-1)(x-\pi)+(\pi^{2}-\pi)(y-1).
Reta: (x,y,z)=(\pi,1,0)+t\,(1-2\pi,\;\pi-\pi^{2},\;1).

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