Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície
no ponto
.
Plano:
,
Reta:
.
Reta:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras no ponto
:
- Determinar o plano tangente à superfície
. - Determinar a reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Informações dadas:
Passo 2
Para encontrar o plano tangente usamos a fórmula da aproximação linear de uma função
em torno de
:
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Vou explicar rapidamente o que são e como calcular:
- A derivada parcial
é a derivada de em relação a mantendo fixo. Pense como se fosse uma constante. - A derivada parcial
é a derivada de em relação a mantendo fixo.
Passo 3
Calculemos
e
para
.
Derivando termo a termo:
- Para
, usando cadeia: derivada em relação a é e em relação a é . - Para
, tratando como constante ao derivar em dá ; tratando como constante ao derivar em dá .
Logo:
Passo 4
Agora avaliamos as derivadas em
.
Primeiro note que da imagem trigonométrica . Usamos isso porque
em
vale
.
Primeiro note que da imagem trigonométrica
Substituindo:
Passo 5
Escrevemos então o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 com
:
Substituindo os valores encontrados obtemos o plano tangente:
Se preferir colocar em forma implícita, podemos rearranjar:
Passo 6
Agora a reta normal. Raciocínio: para uma superfície dada por
considere a função implícita
O vetor gradiente
é normal à superfície. Calculando:
Avaliado no ponto
temos o vetor normal
A reta normal, em forma paramétrica de vetor, passa por
com direção
:
Em coordenadas escalares:
Resposta
Plano:
Reta: