Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície z=x e^{y}+y^{2} \cos x no ponto P(0,0,0).
Plano: -0(x-0)+0(y-0)+(z-0)=0 \Longrightarrow z=0,
Reta: (x, y, z)=(0,0,0)+t(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o plano tangente e a reta normal à superfície no ponto dado. As informações relevantes são:
\text{superfície: } z = x e^{y} + y^{2}\cos x,í
\text{ponto: } P(0,0,0).
Nada mais é fornecido; a superfície está escrita como z=f(x,y) e o ponto pertence a ela (verificável: 0 = 0\cdot e^{0} + 0^{2}\cos 0).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (é padrão para superfícies escritas como z=f(x,y)):
\text{plano tangente em }(x_0,y_0,z_0):\quad z-z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicação didática: f_x é a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo — mede como z muda quando a gente varia só x. Analogamente, f_y mede a variação de z quando só y varia. Esses dois números determinam a inclinação da superfície nas direções x e y no ponto, e juntos definem o plano que “toca” a superfície naquele ponto.

Passo 3

Vamos calcular f_x(x,y). Tome
f(x,y)=x e^{y} + y^{2}\cos x.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
  • Para x e^{y}: e^{y} é constante, derivada de x é 1, logo contribuição é e^{y}.
  • Para y^{2}\cos x: y^{2} é constante e derivada de \cos x é -\sin x, logo contribuição é -y^{2}\sin x.
    Assim
f_x(x,y)=e^{y}-y^{2}\sin x.
Agora avalio em (0,0):
f_x(0,0)=e^{0}-0^{2}\sin 0 = 1-0 = 1.

Passo 4

Agora f_y(x,y). Derivando f em relação a y (tratando x como constante):
  • Para x e^{y}: x é constante, derivada de e^{y} é e^{y}, logo contribuição x e^{y}.
  • Para y^{2}\cos x: \cos x é constante, derivada de y^{2} é 2y, logo contribuição 2y\cos x.
    Portanto
f_y(x,y)=x e^{y} + 2y\cos x.
Avaliando em (0,0):
f_y(0,0)=0\cdot e^{0} + 2\cdot 0\cdot\cos 0 = 0.

Passo 5

Com f_x(0,0)=1 e f_y(0,0)=0 aplicamos a fórmula do plano tangente em (x_0,y_0,z_0)=(0,0,0):
z-0 = 1\cdot(x-0) + 0\cdot(y-0),
ou seja
z = x.
Interpretação rápida: o plano tangente passa pela origem e tem inclinação 1 na direção x e 0 na direção y.

Passo 6

Reta normal: uma forma prática é definir F(x,y,z)=z-f(x,y). A normal à superfície é o gradiente \nabla F:
\nabla F = \bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr).
No ponto (0,0,0) isso vale
\nabla F(0,0,0)=\bigl(-1,\,0,\,1\bigr).
Logo um vetor diretor da reta normal é (-1,0,1). A equação paramétrica da reta normal, partindo de P(0,0,0), é
(x,y,z) = (0,0,0) + t(-1,0,1),
ou em coordenadas:
x=-t,\quad y=0,\quad z=t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Plano tangente: z = x
Reta normal: (x,y,z)=(0,0,0)+t(-1,0,1)

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