Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície
no ponto
.
Plano:
,
Reta:
.
Reta:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o plano tangente e a reta normal à superfície no ponto dado. As informações relevantes são:
Nada mais é fornecido; a superfície está escrita como
e o ponto pertence a ela (verificável:
).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (é padrão para superfícies escritas como
):
Explicação didática:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo — mede como
muda quando a gente varia só
. Analogamente,
mede a variação de
quando só
varia. Esses dois números determinam a inclinação da superfície nas direções
e
no ponto, e juntos definem o plano que “toca” a superfície naquele ponto.
Passo 3
Vamos calcular
. Tome
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
- Para
: é constante, derivada de é , logo contribuição é . - Para
: é constante e derivada de é , logo contribuição é .
Assim
Agora avalio em
:
Passo 4
Agora
. Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
- Para
: é constante, derivada de é , logo contribuição . - Para
: é constante, derivada de é , logo contribuição .
Portanto
Avaliando em
:
Passo 5
Com
e
aplicamos a fórmula do plano tangente em
:
ou seja
Interpretação rápida: o plano tangente passa pela origem e tem inclinação 1 na direção
e 0 na direção
.
Passo 6
Reta normal: uma forma prática é definir
. A normal à superfície é o gradiente
:
No ponto
isso vale
Logo um vetor diretor da reta normal é
. A equação paramétrica da reta normal, partindo de
, é
ou em coordenadas:
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: