Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície
no ponto
.
Plano:
,
Reta:
.
Reta:
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e o ponto
. Pede-se:
- o plano tangente à superfície no ponto
; - a reta normal à superfície no ponto
.
Informações relevantes: a superfície está escrita como
com
. O ponto de contato é
.
Passo 2
Método que vamos usar (explicado passo a passo): quando a superfície é dada por
, o plano tangente em
é dado pela fórmula
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
(mantendo
fixo). Essas derivadas medem a inclinação da superfície nas direções
e
e são essenciais para construir o plano tangente.
A reta normal pode ser tomada com direção igual ao vetor normal do plano tangente. Para uma superfície
, um vetor normal conveniente é
A reta normal passa por
e tem essa direção.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Calcular
:
Calcular
:
Passo 5
Montar o plano tangente usando a fórmula do Passo 2, com
,
e
:
Isso simplifica para
ou seja
Interpretação didática: as derivadas parciais nulas significam que a superfície tem inclinação zero nas direções
e
naquele ponto, então o plano tangente é horizontal.
Passo 6
Encontrar a reta normal. Usamos o vetor normal
Uma parametrização da reta normal que passa por
é
ou em coordenadas:
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: