Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície z=x^{3}+y^{3}-3 x y no ponto P(1,1,-1).
Plano: 0(x-1)+0(y-1)+(z+1)=0 \Longrightarrow z=-1,
Reta: (x, y, z)=(1,1,-1)+t(0,0,1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=x^{3}+y^{3}-3xy e o ponto P(1,1,-1). Pede-se:
  • o plano tangente à superfície no ponto P;
  • a reta normal à superfície no ponto P.
Informações relevantes: a superfície está escrita como z=f(x,y) com f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy. O ponto de contato é (x_0,y_0,z_0)=(1,1,-1).

Passo 2

Método que vamos usar (explicado passo a passo): quando a superfície é dada por z=f(x,y), o plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é dado pela fórmula
z-z_0=f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui f_x é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e f_y é a derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo). Essas derivadas medem a inclinação da superfície nas direções x e y e são essenciais para construir o plano tangente.
A reta normal pode ser tomada com direção igual ao vetor normal do plano tangente. Para uma superfície z=f(x,y), um vetor normal conveniente é
\mathbf{n}=(-f_x(x_0,y_0),\,-f_y(x_0,y_0),\,1).
A reta normal passa por P e tem essa direção.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy\bigr)=3x^{2}+0-3y=3x^{2}-3y.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3xy\bigr)=0+3y^{2}-3x=3y^{2}-3x.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (x_0,y_0)=(1,1).
Calcular f_x(1,1):
f_x(1,1)=3\cdot 1^{2}-3\cdot 1=3-3=0.
Calcular f_y(1,1):
f_y(1,1)=3\cdot 1^{2}-3\cdot 1=3-3=0.

Passo 5

Montar o plano tangente usando a fórmula do Passo 2, com z_0=-1, f_x(1,1)=0 e f_y(1,1)=0:
z-(-1)=0\cdot (x-1)+0\cdot (y-1).
Isso simplifica para
z+1=0,
ou seja
z=-1.
Interpretação didática: as derivadas parciais nulas significam que a superfície tem inclinação zero nas direções x e y naquele ponto, então o plano tangente é horizontal.

Passo 6

Encontrar a reta normal. Usamos o vetor normal
\mathbf{n}=(-f_x(1,1),-f_y(1,1),1)=(0,0,1).
Uma parametrização da reta normal que passa por P(1,1,-1) é
(x,y,z)=(1,1,-1)+t(0,0,1),
ou em coordenadas:
x=1,\quad y=1,\quad z=-1+t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Plano tangente: z=-1
Reta normal: (x,y,z)=(1,1,-1)+t(0,0,1)

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