Determine o plano tangente a superfície \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superfície: x=u+v, y=u-v, z=u v no ponto ( 2,0,1 ).

Passo 1

O enunciado dá uma superfície paramétrica \mathbf{r}(u,v) cujas coordenadas são
x = u+v,\qquad y = u-v,\qquad z = u v,
e pede: determinar o plano tangente a essa superfície no ponto \boldsymbol{P_0} = (2,0,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície está dada por \mathbf{r}(u,v) = (u+v,\;u-v,\;u v).
  • O ponto onde queremos o plano tangente é \boldsymbol{P_0}=(2,0,1).
  • Precisamos encontrar o plano tangente (equação cartesiana do plano) que toca a superfície nesse ponto.

Passo 2

Primeiro temos que encontrar os valores de parâmetros (u_0,v_0) tais que \mathbf{r}(u_0,v_0)=\boldsymbol{P_0}. Isso gera o sistema
u+v=2,\qquad u-v=0,\qquad u v = 1.
Da segunda equação temos u=v. Substituindo na primeira:
2u = 2 \implies u=1.
Logo v=1. Verificamos a terceira: u v = 1\cdot 1 = 1, que coincide com a coordenada z do ponto. Portanto os parâmetros no ponto são (u_0,v_0)=(1,1).

Passo 3

Explicação do método (aula rápida): para uma superfície dada por \mathbf{r}(u,v), os vetores tangentes à superfície em (u_0,v_0) são as derivadas parciais
\mathbf{r}_u=\partial\mathbf{r}/\partial u e \mathbf{r}_v=\partial\mathbf{r}/\partial v avaliadas em (u_0,v_0). O plano tangente é o plano que passa por \mathbf{r}(u_0,v_0) e contém esses dois vetores. Uma forma prática de obter a equação cartesiana do plano é:
  • calcular a normal \mathbf{n}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v (produto vetorial),
  • escrever \mathbf{n}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{r}(u_0,v_0))=0, que dá a equação do plano.
Observação sobre derivadas parciais: cada componente de \mathbf{r} é função de u e v. A derivada parcial \mathbf{r}_u é o vetor formado pelas derivadas parciais das componentes em relação a u, e similar para \mathbf{r}_v.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais componentes:
\mathbf{r}_u = \left(\frac{\partial x}{\partial u},\;\frac{\partial y}{\partial u},\;\frac{\partial z}{\partial u}\right) = (1,\;1,\;v),
\mathbf{r}_v = \left(\frac{\partial x}{\partial v},\;\frac{\partial y}{\partial v},\;\frac{\partial z}{\partial v}\right) = (1,\;-1,\;u).
Agora avaliamos em (u_0,v_0)=(1,1):
\mathbf{r}_u(1,1) = (1,1,1),\qquad \mathbf{r}_v(1,1) = (1,-1,1).

Passo 5

Calcular o normal \mathbf{n} = \mathbf{r}_u(1,1)\times\mathbf{r}_v(1,1). Fazendo o produto vetorial:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot 1 - 1\cdot(-1)) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(1\cdot(-1) - 1\cdot 1).
Calculando cada componente:
\mathbf{n} = (1+1,\;0,\;-1-1) = (2,0,-2).
Podemos simplificar multiplicando por 1/2, obtendo um vetor normal mais simples:
\mathbf{n} = (1,0,-1).
(O fator escalar não altera o plano.)

Passo 6

Agora escrevemos a equação do plano usando a forma normal-ponto:
\mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-\mathbf{r}(1,1)\big)=0.
Temos \mathbf{r}(1,1)=\boldsymbol{P_0}=(2,0,1) e \mathbf{n}=(1,0,-1). Então
(1,0,-1)\cdot(x-2,\;y-0,\;z-1)=0.
Fazendo o produto escalar:
1\cdot(x-2) + 0\cdot y -1\cdot(z-1) = 0.
Simplificando:
x-2 - z +1 = 0 \implies x - z -1 = 0.
Portanto a equação do plano tangente é x - z = 1, ou isolando z:
z = x - 1.

Passo 7

Checagem rápida (controle de erro): verificar que \boldsymbol{P_0} satisfaz a equação:
2 - 1 = 1,
ok. Verificar também que o normal é ortogonal aos vetores tangentes:
(1,0,-1)\cdot(1,1,1)=1-1=0,\qquad (1,0,-1)\cdot(1,-1,1)=1-1=0,
portanto \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v estão contidos no plano, como esperado.

Resposta

x - z = 1

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