Determine o plano tangente a superfície \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superfície: x=u+v, y=u-v, z=u v no ponto ( 2,0,1 ).
Passo 1
O enunciado dá uma superfície paramétrica \mathbf{r}(u,v) cujas coordenadas são
x = u+v,\qquad y = u-v,\qquad z = u v,
e pede: determinar o plano tangente a essa superfície no ponto \boldsymbol{P_0} = (2,0,1).
Informações relevantes fornecidas:
A superfície está dada por \mathbf{r}(u,v) = (u+v,\;u-v,\;u v).
O ponto onde queremos o plano tangente é \boldsymbol{P_0}=(2,0,1).
Precisamos encontrar o plano tangente (equação cartesiana do plano) que toca a superfície nesse ponto.
Passo 2
Primeiro temos que encontrar os valores de parâmetros (u_0,v_0) tais que \mathbf{r}(u_0,v_0)=\boldsymbol{P_0}. Isso gera o sistema
u+v=2,\qquad u-v=0,\qquad u v = 1.
Da segunda equação temos u=v. Substituindo na primeira:
2u = 2 \implies u=1.
Logo v=1. Verificamos a terceira: u v = 1\cdot 1 = 1, que coincide com a coordenada z do ponto. Portanto os parâmetros no ponto são (u_0,v_0)=(1,1).
Passo 3
Explicação do método (aula rápida): para uma superfície dada por \mathbf{r}(u,v), os vetores tangentes à superfície em (u_0,v_0) são as derivadas parciais \mathbf{r}_u=\partial\mathbf{r}/\partial u e \mathbf{r}_v=\partial\mathbf{r}/\partial v avaliadas em (u_0,v_0). O plano tangente é o plano que passa por \mathbf{r}(u_0,v_0) e contém esses dois vetores. Uma forma prática de obter a equação cartesiana do plano é:
calcular a normal \mathbf{n}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v (produto vetorial),
escrever \mathbf{n}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{r}(u_0,v_0))=0, que dá a equação do plano.
Observação sobre derivadas parciais: cada componente de \mathbf{r} é função de u e v. A derivada parcial \mathbf{r}_u é o vetor formado pelas derivadas parciais das componentes em relação a u, e similar para \mathbf{r}_v.