Determine o plano tangente a superfície \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superfície: r(u, v)=\langle u, v, u v\rangle uma hipérbole no ponto ( 1,2,2 ).

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada
\mathbf{r}(u,v)=\langle u,\;v,\;u v\rangle
e pede: determinar o plano tangente a essa superfície no ponto \boldsymbol{P}_{0}=(1,2,2).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A parametrização explícita: x(u,v)=u, y(u,v)=v, z(u,v)=uv.
  • O ponto de interesse na superfície é \boldsymbol{P}_{0}=(1,2,2).
  • Devemos encontrar a equação do plano tangente à superfície nesse ponto.

Passo 2

Primeiro passo prático: identificar os parâmetros (u_0,v_0) que geram o ponto \boldsymbol{P}_{0}. Como x=u e y=v, para obter (1,2,2) devemos ter
u_0=1,\qquad v_0=2.
Verificação rápida: com (u_0,v_0)=(1,2) obtemos z= u_0 v_0 = 1\cdot 2 = 2, que coincide com a coordenada z do ponto. Então o ponto está na superfície e os parâmetros são (1,2).

Passo 3

Teoria necessária (passo-a-passo didático): para uma superfície parametrizada \mathbf{r}(u,v), os vetores parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são vetores tangentes à superfície nas direções de variação de u e v. Eles são obtidos derivando componente a componente em relação a u e a v.
Calculemos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_u(u,v)=\frac{\partial}{\partial u}\langle u,v,uv\rangle=\langle 1,\;0,\;v\rangle,
\mathbf{r}_v(u,v)=\frac{\partial}{\partial v}\langle u,v,uv\rangle=\langle 0,\;1,\;u\rangle.
Explicação: cada componente foi diferenciada mantendo a outra variável fixa; por exemplo, \partial(uv)/\partial u = v.

Passo 4

Avalie esses vetores no ponto (u_0,v_0)=(1,2):
\mathbf{r}_u(1,2)=\langle 1,\;0,\;2\rangle,
\mathbf{r}_v(1,2)=\langle 0,\;1,\;1\rangle.
Interpretação: esses dois vetores estão no plano tangente em \boldsymbol{P}_{0} e o plano tangente é o conjunto de combinações lineares deles, traduzido para o ponto \boldsymbol{P}_{0}.

Passo 5

Para escrever a equação cartesiana do plano tangente precisamos de um vetor normal ao plano. Um método direto é tomar o produto vetorial entre \mathbf{r}_u(1,2) e \mathbf{r}_v(1,2):
\mathbf{n}=\mathbf{r}_u(1,2)\times\mathbf{r}_v(1,2).
Calculemos o produto vetorial usando a matriz determinantal:
\mathbf{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot1-2\cdot1)-\mathbf{j}(1\cdot1-2\cdot0)+\mathbf{k}(1\cdot1-0\cdot0).
Portanto
\mathbf{n}=\langle -2,\;-1,\;1\rangle.
Observação: qualquer múltiplo escalar desse vetor também é normal; aqui usamos esse para simplicidade.]

Passo 6

Equação do plano usando o vetor normal: se \mathbf{n}=\langle a,b,c\rangle e o ponto é (x_0,y_0,z_0), a equação do plano é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
No nosso caso a=-2, b=-1, c=1 e (x_0,y_0,z_0)=(1,2,2). Substituindo:
-2(x-1)-1(y-2)+1(z-2)=0.
Agora simplificamos passo a passo:
-2x+2 - y +2 + z -2 = 0,
-2x - y + z +2 = 0.
Isolando z para uma forma mais usual:
z = 2x + y - 2.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): substituindo (x,y,z)=(1,2,2) na equação z=2x+y-2 obtemos 2 = 2\cdot1 + 2 -2 = 2, logo o ponto pertence ao plano encontrado. Tudo consistente.

Resposta

z = 2x + y - 2

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