Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da superfície cilíndrica. x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+1=0 e 0 \leq z \leq 2.
Passo 1
O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+1=0
e a condição para z:
0 \leq z \leq 2.
O que se pede é “fazer o gráfico da superfície cilíndrica” determinada por essa equação e essa faixa de z. Ou seja:
identificar qual é a curva no plano xy que gera a superfície;
descrever (e saber desenhar) a superfície no espaço com z entre 0 e 2.
Nada mais é pedido além de representar essa superfície cilíndrica.
Passo 2
Vamos manipular a equação dada para reconhecê-la. A técnica é completar quadrados nas variáveis x e y. Começamos com
x^{2}-2x+y^{2}-2y+1=0.
Complete o quadrado para x: x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1. Para y: y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1. Substituindo isso na expressão:
(x-1)^{2}-1+(y-1)^{2}-1+1=0.
Agora some os termos constantes -1-1+1=-1, então
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-1=0.
Mudando de lado:
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1.
Essa é a equação de um círculo no plano xy de centro (1,1) e raio 1.
Passo 3
Interpretação geométrica: a equação original não envolve z. Sempre que uma equação em x,y,z não depende de z, ela descreve uma superfície cilíndrica cuja “direção” é paralela ao eixo z: a mesma curva no plano xy é repetida para todos os valores de z. Portanto:
a curva geradora no plano xy é o círculo (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1;
ao “puxarmos” esse círculo na direção vertical (eixo z), obtemos uma superfície cilíndrica circular.
A condição 0\le z\le2 restringe essa superfície cilíndrica para a faixa vertical entre os planos z=0 e z=2 — ou seja, uma “casca” cilíndrica circular de altura 2, sem tampas (a equação define apenas a lateral).
Passo 4
Parametrização útil (muito prática para desenhar e provar propriedades): um ponto do círculo no plano xy\) pode ser escrito com um parâmetro angular \(t\in[0,2\pi)\) como
\[x=1+\cos t,\qquad y=1+\sin t.
Como z varia de 0 a 2, adicionamos um segundo parâmetro u\in[0,2] para a coordenada vertical. Assim uma parametrização da superfície é
Explicação do que cada parâmetro faz: t\] anda ao redor do círculo (define a posição ao redor da secção transversal), \(u sobe/ desce ao longo do eixo z entre 0 e 2.]
Passo 5
Como esboçar o gráfico passo a passo (dicas para a prova, sem calculadora):
Desenhe os eixos x,y,z. No plano xy (a “base”), marque o ponto (1,1) — esse é o centro do círculo gerador.
A partir de (1,1), desenhe um círculo de raio 1. Esse é o traço no plano z=0 e em qualquer plano horizontal.
Agora, para alguns pontos do círculo (por exemplo t=0,\pi/2,\pi,3\pi/2), desenhe segmentos verticais que sobem até z=2. Esses segmentos são geradoras do cilindro.
Repita levemente o círculo no plano z=2; ele será idêntico ao de z=0 (mesmo centro e raio).
Conecte os círculos por linhas curvas verticais (na projeção parecem linhas retas) para mostrar a lateral cilíndrica. O resultado é um cilindro circular direito de raio 1, eixo paralelo a z, com seu eixo passando por (1,1) no plano xy, altura 2, e sem tampas.
Dica visual: a projeção ortogonal dessa superfície no plano xy é exatamente o círculo (x-1)^{2}+(y-1)^{2}\le 1 na borda — mas atenção: a superfície original é apenas a borda (igualdade), não o disco cheio.
Passo 6
Outras descrições equivalentes (úteis para conferir):
Essas formas deixam claro que para cada z entre 0 e 2 temos exatamente o mesmo círculo no plano xy.
Passo 7
Resumo final e incentivo: a superfície é um cilindro circular direito de raio 1, centrado em (1,1) no plano xy, estendido verticalmente de z=0 até z=2. Se você for desenhar na prova, mostre o círculo em z=0, o círculo em z=2 e algumas geratrizes verticais ligando-os — isso deixa claro que você entendeu a superfície. Você está indo bem; desenhar cilindros assim fica automático com prática.