Determine o plano tangente à superfície
x y z=27
no ponto (3,3,3).

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
x y z = 27
e pede o plano tangente a essa superfície no ponto (3,3,3).
Informações relevantes dadas:
  • A equação implícita da superfície é x y z = 27.
  • O ponto onde queremos o plano tangente é (x_0,y_0,z_0)=(3,3,3).
  • Precisamos encontrar uma equação de plano que seja tangente à superfície nesse ponto.

Passo 2

Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática).
Quando uma superfície é dada implicitamente por
F(x,y,z)=0,
o vetor gradiente
\nabla F(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}\right)
é um vetor normal à superfície em cada ponto. Isso acontece porque o gradiente aponta na direção de maior variação de F, e sobre a superfície F é constante (=0), então a variação tangencial de F é nula; logo, a componente de \nabla F tangente tem produto escalar zero com qualquer vetor tangente.
A equação do plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é, portanto,
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
Aqui:
  • \nabla F(x_0,y_0,z_0) é o vetor normal ao plano (avaliado no ponto),
  • (x-x_0,y-y_0,z-z_0) é um vetor genérico que liga o ponto (x_0,y_0,z_0) a um ponto (x,y,z) do plano.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: defino
F(x,y,z)=x y z - 27,
então calculo as derivadas parciais (explicando o que cada uma significa):
  • \dfrac{\partial F}{\partial x} é a taxa de variação de F quando só x varia (mantendo y,z fixos). Aqui
\dfrac{\partial F}{\partial x}=y z.
  • \dfrac{\partial F}{\partial y} é a taxa de variação de F quando só y varia. Aqui
\dfrac{\partial F}{\partial y}=x z.
  • \dfrac{\partial F}{\partial z} é a taxa de variação de F quando só z varia. Aqui
\dfrac{\partial F}{\partial z}=x y.

Passo 4

Avalio o gradiente no ponto (3,3,3):
\nabla F(3,3,3)=\bigl(y z,\;x z,\;x y\bigr)\big|_{(3,3,3)}=(3\cdot3,\;3\cdot3,\;3\cdot3)=(9,9,9).
Esse é o vetor normal ao plano tangente nesse ponto.

Passo 5

Escrevo a equação do plano tangente usando o produto escalar:
(9,9,9)\cdot (x-3,y-3,z-3)=0.
Fazendo o produto escalar e simplificando (mostrando os passos algébricos),
9(x-3)+9(y-3)+9(z-3)=0,
\text{dividindo por }9:\quad (x-3)+(y-3)+(z-3)=0,
x+y+z-9=0.

Passo 6

Checagem rápida (pra não vacilar na prova): o ponto (3,3,3) satisfaz \;3+3+3-9=0, logo o plano contém o ponto pedido. Também é coerente com derivadas parciais se isolarmos z como função z=\dfrac{27}{xy}: nessa função, \dfrac{\partial z}{\partial x}\big|_{(3,3)}=-1 e \dfrac{\partial z}{\partial y}\big|_{(3,3)}=-1, o que leva à mesma reta linearização z-3=-1(x-3)-1(y-3), equivalente a x+y+z=9.

Resposta

x+y+z=9

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