Exercício 2
Determine o plano tangente à superfície
em (
).
Passo 1
O enunciado pede: determinar o plano tangente à superfície
no ponto
.
Informações dadas:
- A superfície é dada explicitamente por
. - O ponto de tangência é
— verifiquei que .
O que se precisa entregar: a equação do plano tangente que toca a superfície nesse ponto.
Passo 2
Entendendo o que é o plano tangente (intuição e fórmula):
- O plano tangente é a melhor aproximação linear da superfície perto do ponto dado. Pensa assim: se a superfície fosse uma pequena colina, o plano tangente seria a mesa que encosta essa colina exatamente naquele ponto e, perto dali, fica muito parecido com a colina.
- Para uma superfície dada por
, a equação do plano tangente em é a linearização de em torno do ponto:
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a (mostra a inclinação da superfície quando se varia mantendo fixo). -
é a derivada parcial de em relação a (mostra a inclinação quando se varia mantendo fixo). - Essa fórmula vem do polinômio de Taylor de primeira ordem (linearização). Não se assuste: para provas, decorar essa forma e saber calcular
é suficiente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
: quando derivamos em relação a obtemos ; o termo é tratado como constante (pois é independente de ), logo sua derivada em relação a é . Portanto
- Derivada parcial em relação a
: quando derivamos em relação a obtemos ; o termo é tratado como constante, então
Explicando de forma bem simples: pensar em
como a "inclinação ao mover-se na direção
" e
como a "inclinação ao mover-se na direção
".
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
:
-
-
Também já sabemos.
Passo 5
Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da linearização:
Substituindo os valores calculados:
Passo 6
Simplificar a equação:
Distribuindo:
Os constantes
e
se cancelam, ficando
Opcionalmente, em forma padrão (normal à superfície): reorganizando,
o que mostra que um vetor normal ao plano é
— só para intuição extra.
Passo 7
Verificação rápida (controle de sanidade): escolher um ponto próximo, por exemplo
já é o ponto exato; pegar
trivialmente funciona. Para um teste não trivial, pegue
deslocado em
e
: por exemplo
não muda — mais útil é checar
; porém para mostrar consistência numérica rápida, pegue
:
- Para
deslocado para (teste trivial) a aproximação coincide. - Um teste numérico:
deslocado para também coincide — em exercícios curtos a verificação algébrica feita já é suficiente e a substituição direta confirma a igualdade.