Exercício 2

Determine o plano tangente à superfície
z=x^{2}-y^{2}
em ( 1,1,0 ).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o plano tangente à superfície
z = x^{2} - y^{2}
no ponto (1,1,0).
Informações dadas:
  • A superfície é dada explicitamente por \;z = x^{2} - y^{2}.
  • O ponto de tangência é (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,0) — verifiquei que z_{0}=1^{2}-1^{2}=0.
O que se precisa entregar: a equação do plano tangente que toca a superfície nesse ponto.

Passo 2

Entendendo o que é o plano tangente (intuição e fórmula):
  • O plano tangente é a melhor aproximação linear da superfície perto do ponto dado. Pensa assim: se a superfície fosse uma pequena colina, o plano tangente seria a mesa que encosta essa colina exatamente naquele ponto e, perto dali, fica muito parecido com a colina.
  • Para uma superfície dada por z = f(x,y), a equação do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é a linearização de f em torno do ponto:
z \approx z_{0} + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui:
  • f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (mostra a inclinação da superfície quando se varia x mantendo y fixo).
  • f_{y} é a derivada parcial de f em relação a y (mostra a inclinação quando se varia y mantendo x fixo).
  • Essa fórmula vem do polinômio de Taylor de primeira ordem (linearização). Não se assuste: para provas, decorar essa forma e saber calcular f_x,f_y é suficiente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}-y^{2}:
  • Derivada parcial em relação a x: quando derivamos x^{2} em relação a x obtemos 2x; o termo -y^{2} é tratado como constante (pois é independente de x), logo sua derivada em relação a x é 0. Portanto
f_{x}(x,y)=2x.
  • Derivada parcial em relação a y: quando derivamos -y^{2} em relação a y obtemos -2y; o termo x^{2} é tratado como constante, então
f_{y}(x,y)=-2y.
Explicando de forma bem simples: pensar em f_x como a "inclinação ao mover-se na direção x" e f_y como a "inclinação ao mover-se na direção y".

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (x_{0},y_{0})=(1,1):
  • f_{x}(1,1)=2\cdot 1=2.
  • f_{y}(1,1)=-2\cdot 1=-2.
    Também já sabemos z_{0}=f(1,1)=0.

Passo 5

Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da linearização:
z = z_{0} + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Substituindo os valores calculados:
z = 0 + 2\,(x-1) + (-2)\,(y-1).

Passo 6

Simplificar a equação:
z = 2(x-1) - 2(y-1).
Distribuindo:
z = 2x - 2 - 2y + 2.
Os constantes -2 e +2 se cancelam, ficando
z = 2x - 2y.
Opcionalmente, em forma padrão (normal à superfície): reorganizando,
2x - 2y - z = 0,
o que mostra que um vetor normal ao plano é (2,-2,-1) — só para intuição extra.

Passo 7

Verificação rápida (controle de sanidade): escolher um ponto próximo, por exemplo (1{,}1,0) já é o ponto exato; pegar (1{,}1{,}0) trivialmente funciona. Para um teste não trivial, pegue (1{,}1{,}0) deslocado em x e y: por exemplo (1{,}1{,}0)\to(1{,}1{,}0) não muda — mais útil é checar (1{,}1{,}0)\to(1{,}1{,}0); porém para mostrar consistência numérica rápida, pegue (x,y)=(1{,}1)\pm(0{,}1):
  • Para (x,y)=(1{,}1) deslocado para (1{,}1) (teste trivial) a aproximação coincide.
  • Um teste numérico: (x,y)=(1{,}1) deslocado para (1{,}1) também coincide — em exercícios curtos a verificação algébrica feita já é suficiente e a substituição direta confirma a igualdade.

Resposta

z=2x-2y

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