Exercício 1

Determine o plano tangente à esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16
no ponto (2,2,2 \sqrt{2}).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16
e pede: determinar o plano tangente a essa superfície no ponto (2,2,2\sqrt{2}).
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é definida implicitamente pela equação \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=16\;.
  • O ponto de tangência é \;(2,2,2\sqrt{2})\;.
  • O objetivo é encontrar a equação do plano que toca a superfície naquele ponto.

Passo 2

Ideia chave (explicada devagar): para uma superfície dada por uma equação implícita \;F(x,y,z)=\text{constante}\;, o vetor gradiente de F no ponto é um vetor normal à superfície naquele ponto. Assim, a equação do plano tangente em um ponto \;P=(x_0,y_0,z_0)\; pode ser escrita usando o produto escalar com esse normal como
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr)=0.
Explicando termo a termo:
  • \;F(x,y,z)\; é a função que define a superfície. Aqui vamos escolher \;F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\;.
  • \;\nabla F=(\partial F/\partial x,\;\partial F/\partial y,\;\partial F/\partial z)\; é o gradiente: ele aponta na direção de maior aumento de F e, para uma superfície de nível, é perpendicular à superfície.
  • O produto escalar \; \nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0))\; mede a componente do deslocamento (x,y,z)-(x_0,y_0,z_0) na direção normal; igualando a zero obtemos todos os vetores tangentes, logo a equação do plano tangente.

Passo 3

Calcular o gradiente de \;F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\;.
As derivadas parciais são:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=2z.
Logo o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=(2x,\,2y,\,2z).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto dado \;P=(2,2,2\sqrt{2})\;.
Substituindo:
\nabla F(2,2,2\sqrt{2})=(2\cdot2,\;2\cdot2,\;2\cdot 2\sqrt{2})=(4,\,4,\,4\sqrt{2}).
Esse vetor é normal ao plano tangente em P.

Passo 5

Escrever a equação do plano tangente usando o vetor normal e o ponto P.
A forma vetorial/escalar é
(4,4,4\sqrt{2})\cdot\bigl((x,y,z)-(2,2,2\sqrt{2})\bigr)=0.
Fazendo o produto escalar e desenvolvendo:
4(x-2)+4(y-2)+4\sqrt{2}\bigl(z-2\sqrt{2}\bigr)=0.

Passo 6

Simplificar a equação para uma forma mais direta.
Dividindo por 4:
(x-2)+(y-2)+\sqrt{2}\bigl(z-2\sqrt{2}\bigr)=0.
Desenvolvendo \sqrt{2}(z-2\sqrt{2})=\sqrt{2}z-2(\sqrt{2})^{2}=\sqrt{2}z-4, somando os termos:
x-2+y-2+\sqrt{2}z-4=0 \quad\Rightarrow\quad x+y+\sqrt{2}z-8=0.
Portanto a equação do plano tangente é
x+y+\sqrt{2}\,z=8.

Resposta

x+y+\sqrt{2}\,z=8

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