Exercício 1
Determine o plano tangente à esfera
no ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da esfera
e pede: determinar o plano tangente a essa superfície no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície é definida implicitamente pela equação
. - O ponto de tangência é
. - O objetivo é encontrar a equação do plano que toca a superfície naquele ponto.
Passo 2
Ideia chave (explicada devagar): para uma superfície dada por uma equação implícita
, o vetor gradiente de
no ponto é um vetor normal à superfície naquele ponto. Assim, a equação do plano tangente em um ponto
pode ser escrita usando o produto escalar com esse normal como
Explicando termo a termo:
-
é a função que define a superfície. Aqui vamos escolher . -
é o gradiente: ele aponta na direção de maior aumento de e, para uma superfície de nível, é perpendicular à superfície. - O produto escalar
mede a componente do deslocamento na direção normal; igualando a zero obtemos todos os vetores tangentes, logo a equação do plano tangente.
Passo 3
Calcular o gradiente de
.
As derivadas parciais são:
Logo o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto dado
.
Substituindo:
Esse vetor é normal ao plano tangente em
.
Passo 5
Escrever a equação do plano tangente usando o vetor normal e o ponto
.
A forma vetorial/escalar é
Fazendo o produto escalar e desenvolvendo:
Passo 6
Simplificar a equação para uma forma mais direta.
Dividindo por
:
Desenvolvendo
, somando os termos:
Portanto a equação do plano tangente é