Determine o plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o plano tangente à superfície definida por z = x²y + xy² no ponto (1,1,2). O conteúdo usado aqui é derivadas parciais e equação de plano tangente: z − z₀ = f_x(x₀,y₀)(x − x₀) + f_y(x₀,y₀)(y − y₀).
Passo 2
Para montar esse plano a gente precisa das derivadas parciais de f(x,y) = x²y + xy² em relação a x e y. Temos:
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x₀,y₀)=(1,1): f_x(1,1) = 2·1·1 + 1^2 = 3 e f_y(1,1) = 1^2 + 2·1·1 = 3.
Passo 4
Substituindo na fórmula do plano tangente em forma ponto–direção, obtemos:
$$
z - 2 = 3,(x - 1) + 3,(y - 1)$$
Resposta
z = 3x + 3y - 1