Determine o plano tangente à superfície z=x^2 y+x y^2 no ponto (1,1,2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o plano tangente à superfície definida por z = x²y + xy² no ponto (1,1,2). O conteúdo usado aqui é derivadas parciais e equação de plano tangente: z − z₀ = f_x(x₀,y₀)(x − x₀) + f_y(x₀,y₀)(y − y₀).

Passo 2

Para montar esse plano a gente precisa das derivadas parciais de f(x,y) = x²y + xy² em relação a x e y. Temos:
partial fpartial x = 2xy + y^2
partial fpartial y = x^2 + 2xy

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x₀,y₀)=(1,1): f_x(1,1) = 2·1·1 + 1^2 = 3 e f_y(1,1) = 1^2 + 2·1·1 = 3.

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente em forma ponto–direção, obtemos:
$$
z - 2 = 3,(x - 1) + 3,(y - 1)$$

Resposta

z = 3x + 3y - 1

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