Determine o plano tangente à superfície z=e^x+y no ponto (0,0,1).

Passo 1

O exercício pede o plano tangente à superfície z = e^x+y no ponto (0,0,1). Isso faz parte de cálculo diferencial de funções de duas variáveis, onde usamos derivadas parciais para encontrar a inclinação da superfície em cada direção e, a partir daí, montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Para começar, definimos f(x,y) = e^x+y. As derivadas parciais são dadas por derivar f em relação a x e a y:
partial fpartial x(x,y) = e^x+y,
partial fpartial y(x,y) = e^x+y

Passo 3

Agora avaliaremos essas derivadas no ponto (0,0). Como e^0+0 = 1, obtemos:
partial fpartial x(0,0) = 1,
partial fpartial y(0,0) = 1

Passo 4

A fórmula geral do plano tangente a z = f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)) é:
z - f(a,b) = fx(a,b),(x - a) + fy(a,b),(y - b)

Passo 5

Substituindo a=0, b=0, f(0,0)=1 e as derivadas parciais fx(0,0)=1, fy(0,0)=1, a gente fica com:
z - 1 = 1cdot(x - 0) + 1cdot(y - 0)
e simplificando surge a forma final do plano tangente.

Resposta

z = 1 + x + y

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