Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes: \left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.
Lista do que foi dado e das perguntas:
Dado: a matriz A com entradas a_{11}=1, a_{12}=1, a_{21}=-1, a_{22}=3.
Perguntas:
Determinar o polinômio característico de A.
Encontrar os autovalores (valores próprios) de A.
Para cada autovalor, encontrar o autoespaço (espaço próprio), isto é, o conjunto dos vetores próprios associados.
Passo 2
Lembrete didático (passo a passo do conceito que usaremos):
O polinômio característico de uma matriz A é definido por
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde \lambda é a variável (escalar) e I é a matriz identidade do mesmo tamanho de A. Aqui \lambda representa um potencial autovalor.
Para uma matriz 2\times2, se tivermos uma matriz \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}, o determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Os autovalores são as raízes do polinômio característico, ou seja, os valores de \lambda que anulam \chi_A(\lambda).
Para obter o autoespaço associado a um autovalor \lambda_0 resolvemos o sistema homogêneo
(A-\lambda_0 I)v=0,
cujo conjunto solução é o núcleo (null space) de A-\lambda_0 I. Qualquer vetor não-nulo solução é um autovetor.
Passo 3
Escrevemos a matriz A-\lambda I. Substituindo em A e subtraindo \lambda na diagonal, obtemos
Se v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, o sistema (A-2I)v=0 corresponde a:
\begin{cases} - x + y = 0,\\[4pt] - x + y = 0. \end{cases}
As duas equações são idênticas; basta uma delas. Da primeira obtemos y=x\]. Portanto os vetores solução têm a forma
\[v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},\]
onde \(x\in\mathbb{R}. O autoespaço associado a \lambda=2 é o subespaço gerado por \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}. Uma base natural do autoespaço é \{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\} e a dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica) é 1.]
Passo 7
Interpretação final (curtinha e motivadora):
O autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2 mas o autoespaço tem dimensão 1. Isso significa que há apenas um (até escala) autovetor, e portanto a matriz não é diagonalizável (em \mathbb{R}) porque não possui duas auto-direções independentes. Mas para a prova, o importante pedido foi polinômio, autovalores e autoespaços, que já calculamos.