Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.
Lista do que foi dado e das perguntas:
  • Dado: a matriz A com entradas a_{11}=1, a_{12}=1, a_{21}=-1, a_{22}=3.
  • Perguntas:
    1. Determinar o polinômio característico de A.
    2. Encontrar os autovalores (valores próprios) de A.
    3. Para cada autovalor, encontrar o autoespaço (espaço próprio), isto é, o conjunto dos vetores próprios associados.

Passo 2

Lembrete didático (passo a passo do conceito que usaremos):
  • O polinômio característico de uma matriz A é definido por
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde \lambda é a variável (escalar) e I é a matriz identidade do mesmo tamanho de A. Aqui \lambda representa um potencial autovalor.
  • Para uma matriz 2\times2, se tivermos uma matriz \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}, o determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
  • Os autovalores são as raízes do polinômio característico, ou seja, os valores de \lambda que anulam \chi_A(\lambda).
  • Para obter o autoespaço associado a um autovalor \lambda_0 resolvemos o sistema homogêneo
(A-\lambda_0 I)v=0,
cujo conjunto solução é o núcleo (null space) de A-\lambda_0 I. Qualquer vetor não-nulo solução é um autovetor.

Passo 3

Escrevemos a matriz A-\lambda I. Substituindo em A e subtraindo \lambda na diagonal, obtemos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\\\ -1 & 3-\lambda\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos o polinômio característico usando a fórmula do determinante para 2\times2:
\chi_A(\lambda)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\\\ -1 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(3-\lambda)- (1)(-1).
Agora desenvolvemos passo a passo:
(1-\lambda)(3-\lambda)=1\cdot3 -1\cdot\lambda -\lambda\cdot3 +\lambda^2=3-4\lambda+\lambda^2.
Somando o termo que vem do produto 1\cdot(-1) com sinal negativo (já usado) e lembrando do sinal menos menos que vira mais, temos o +1 extra:
\chi_A(\lambda)=\big(3-4\lambda+\lambda^2\big)+1=\lambda^2-4\lambda+4.

Passo 5

Fatoramos o polinômio encontrado:
\chi_A(\lambda)=\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2.
Logo o único autovalor é \lambda=2, com multiplicidade algébrica 2 (duas raízes iguais).

Passo 6

Agora achamos o autoespaço associado a \lambda=2\). Precisamos resolver \[(A-2I)v=0.
Primeiro escrevemos A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}1-2 & 1 \\\\ -1 & 3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
Se v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, o sistema (A-2I)v=0 corresponde a:
\begin{cases} - x + y = 0,\\[4pt] - x + y = 0. \end{cases}
As duas equações são idênticas; basta uma delas. Da primeira obtemos y=x\]. Portanto os vetores solução têm a forma \[v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},\] onde \(x\in\mathbb{R}. O autoespaço associado a \lambda=2 é o subespaço gerado por \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}. Uma base natural do autoespaço é \{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\} e a dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica) é 1.]

Passo 7

Interpretação final (curtinha e motivadora):
  • O autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2 mas o autoespaço tem dimensão 1. Isso significa que há apenas um (até escala) autovetor, e portanto a matriz não é diagonalizável (em \mathbb{R}) porque não possui duas auto-direções independentes. Mas para a prova, o importante pedido foi polinômio, autovalores e autoespaços, que já calculamos.

Resposta

\chi_A(\lambda)=(\lambda-2)^2
Autovalores: \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2)
Autoespaço associado a \lambda=2: \operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\right\}

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